Question

如圖1，已知拋物線y=ax²-2ax+b經(jīng)過梯形OABC的四個(gè)頂點(diǎn)，若BC=10，梯形OABC的面積為18．
（1）求拋物線解析式；
（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時(shí)向上平移，平移后的兩條直線分別交拋物線于點(diǎn)O₁、A₁、C₁、B₁，得到如圖2的梯形O₁A₁B₁C₁．設(shè)梯形O₁A₁B₁C₁的面積為S，A₁、B₁的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．用含S的代數(shù)式表示x₂-x₁，并求出當(dāng)S=36時(shí)點(diǎn)A₁的坐標(biāo)；
（3）如圖3，設(shè)圖1中點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，3），M為拋物線的頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著線段BC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段DM運(yùn)動(dòng)．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，是否存在某一時(shí)刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對(duì)稱軸圍成的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²-2ax+b，可知對(duì)稱軸方程，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；再根據(jù)BC=10，梯形OABC的面積為18，可求B，C的坐標(biāo)，再將O、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²-2ax+b，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）在兩條直線平移的過程中，梯形的上下底發(fā)生了改變，但是梯形的高沒有變化，仍為3，即y₂-y₁=3，根據(jù)拋物線的解析式，用x₁、x₂表示出y₁、y₂，然后聯(lián)立y₂-y₁=3，可得到第一個(gè)關(guān)于x₁、x₂的關(guān)系式①；在兩條直線平移過程中，拋物線的對(duì)稱軸沒有變化，用x₁、x₂以及拋物線的對(duì)稱軸的解析式表示出梯形上下底的長(zhǎng)，進(jìn)而得到梯形面積的表達(dá)式，這樣得到另外一個(gè)x₁、x₂的關(guān)系式②，聯(lián)立這兩個(gè)關(guān)系式，得到關(guān)于（x₂-x₁）與S的關(guān)系式③，將S=36代入②③的關(guān)系式中，即可列方程組求得x₁、x₂的值，進(jìn)而可求出點(diǎn)A₁的坐標(biāo)；
（3）要解答此題，首先要弄清幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：
一、當(dāng)PQ∥AB時(shí)，設(shè)直線AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為E，可得△DPQ∽△DBE，可用t表示出DP、DQ的長(zhǎng)，而E點(diǎn)坐標(biāo)易求得，根據(jù)相似三角形所得比例線段，即可得到此時(shí)t的值即t=

15

7

；
二、當(dāng)P、Q都停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，顯然BC＞DM，所以此時(shí)t=DM÷1=3

1

8

．
設(shè)直線PQ與直線AB的交點(diǎn)為F，與x軸的交點(diǎn)為G；假設(shè)直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對(duì)稱軸圍成的三角形相似．顯然t=

15

7

不合題意，舍去，所以分兩種情況討論：①當(dāng)0＜t＜

15

7

時(shí)，由題意知△FQE∽△FAG，得∠FGA=∠FEQ，由于BC∥x軸，則∠DPQ=∠FGA=∠FEQ，由此可證得△DPQ∽△DEB，DB、DE的長(zhǎng)已求得，可用t表示出DP、DQ的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形所得比例線段，即可求得此時(shí)t的值；
②當(dāng)

15

7

＜t＜3

1

8

時(shí)，方法同①；
在求得t的值后，還要根據(jù)各自的取值范圍將不合題意的解舍去．

解答：解：（1）∵y=ax²-2ax+b=a（x-1）²-a+b，
∴對(duì)稱軸為：直線x=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）；
∵BC=10，梯形OABC的面積為18，
∴梯形OABC的高為：18×2÷（10+2）=3，
∴B（10÷2+1，3），即B（6，3），
C（1-10÷2，3），即C（-4，3）．
將O（0，0），B（6，3）代入y=ax²-2ax+b，
得

b=0 36a-12a+b=3

，
解得

a= 1 8 b=0

，
∴拋物線解析式為：y=

1

8

x²-

1

4

x；

（2）由題意得y₂-y₁=3，y₂-y₁=

1

8

x₂²-

1

4

x₂-

1

8

x₁²+

1

4

x₁=3，
得：（x₂-x₁）[

1

8

（x₂+x₁）-

1

4

]=3①，
S=

2(x1-1+x2-1)×3

2

=3（x₁+x₂）-6，
得：x₁+x₂=

S

3

+2②，
把②代入①并整理得：x₂-x₁=

72

s

（S＞0），
當(dāng)s=36時(shí)，

x2+x1=14 x2-x1=2

，
解得：

x1=6 x2=8

，
把x₁=6代入拋物線解析式，得y₁=

1

8

×6²-

1

4

×6=3，
∴點(diǎn)A₁（6，3）；

（3）存在t=

20

7

秒，可使直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對(duì)稱軸圍成的三角形相似．理由如下：
易知直線AB的解析式為y=

3

4

x-

3

2

，可得直線AB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，-

3

4

），
∴BD=5，DE=

15

4

，DP=5-t，DQ=t，
當(dāng)PQ∥AB時(shí)，

DQ

DE

=

DP

DB

，
即

t

15 4

=

5-t

5

，解得t=

15

7

．
設(shè)直線PQ與直線AB、x軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)F、G．假設(shè)直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對(duì)稱軸圍成的三角形相似．下面分兩種情況討論：
①當(dāng)0＜t＜

15

7

時(shí)，如圖3-1；
∵△FQE∽△FAG，
∴∠FGA=∠FEQ，
∴∠DPQ=∠DEB；
易得△DPQ∽△DEB，
∴

DQ

DB

=

DP

DE

，即

t

5

=

5-t

15 4

，
解得t=

20

7

＞

15

7

，
∴t=

20

7

不合題意，舍去；
②當(dāng)

15

7

＜t＜3

1

8

時(shí)，如圖3-2；
∵△FAG∽△FQE，
∴∠FAG=∠FQE，
∵∠DQP=∠FQE，∠FAG=∠EBD，
∴∠DQP=∠DBE，
易得△DPQ∽△DEB，
∴

DQ

DB

=

DP

DE

，即

t

5

=

5-t

15 4

，
解得t=

20

7

，符合題意．
綜上，可知當(dāng)t=

20

7

秒時(shí)，直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對(duì)稱軸圍成的三角形相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合類試題，涉及到：二次函數(shù)解析式的確定、等腰梯形的性質(zhì)、圖形面積的求法、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)；在（3）題中能夠正確地畫出圖形，并準(zhǔn)確地找到所求的三角形是解答此題的關(guān)鍵．