Question

已知：如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)P（2，3），點(diǎn)D是正比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)Q，DC、DQ分別交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)F和點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為B，AB交正比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為9時(shí)，求：點(diǎn)E、F的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段OP的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想AE與DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

解：（1）設(shè)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式分別為y=k₁x，y=，把P（2，3）分別代入得k₁=，k₂=6，
∴正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式分別為y=x，y=，
又∵點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為9，
∴對于y=x，令y=9，得9=x，解得x=6，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（6，9），
∵DC⊥x軸，DQ⊥y軸，
∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為9，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為6，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)F在反比例y=的圖象上，
∴把y=9代入y=得x=，把x=6代入y=得y=1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（，9），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（6，1），
又∵AB⊥x軸，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同，即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，
而點(diǎn)E在直線y=x上，把x=代入y=x得y=1，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（，1）；

（2）AE與DF相等．理由如下：
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a），
則A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為a，
把y=a代入y=得x=，把x=a代入y=得y=，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（，a），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（a，），
∴DF=a-；
又∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同，即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，
而點(diǎn)E在直線y=x上，把x=代入y=x得y=，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（，）
∴AE=a-，
∴AE=DF．
分析：（1）先利用待定系數(shù)法可求出正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式分別為y=x，y=；把y=9代入y=x，得x=6，可確定D點(diǎn)坐標(biāo)為（6，9），根據(jù)題意可得A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為9，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為6，然后把y=9代入y=得x=，把x=6代入y=得y=1，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（，9），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（6，1），即得到點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，x=代入y=x得y=1，從而可確定E點(diǎn)坐標(biāo)為（，1）；
（2）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a），與（1）一樣可得A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為a，把y=a代入y=得x=，把x=a代入y=得y=，即可得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（，a），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（a，），可得DF=a-；而點(diǎn)E的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同，即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，把x=代入y=x得y=，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（，），則有AE=a-，即可得到AE=DF．
點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點(diǎn)在圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圖象的解析式；利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；平行于y軸的直線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；平行于x軸的直線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同．