Question

【題目】設(shè)等邊三角形的內(nèi)切圓半徑為外接圓半徑為，平面內(nèi)任意一點(diǎn)到等邊三角形中心的距離為若滿足則稱點(diǎn)叫做等邊三角形的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系中，等邊的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．

（1）①等邊中心的坐標(biāo)為 ；

②已知點(diǎn)在中，是等邊的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)的是 ；

（2）如圖1，過點(diǎn)作直線交軸正半軸于使．

　　

①若線段上存在等邊的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)求的取值范圍；

②將直線向下平移得到直線當(dāng)滿足什么條件時(shí)，直線上總存在等邊的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)；

（3）如圖2，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，的半徑為當(dāng)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．是否存在某一時(shí)刻使得上所有點(diǎn)都是等邊的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)？如果存在，請直接寫出所有符合題意的的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）①，②滿足條件的的值為；（3）存在. 或．

【解析】

（1）①求出OA＝OB＝OC＝2，即可得等邊中心的坐標(biāo)；

②分別求出OD，OE，OF，然后根據(jù)中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義判斷；

（2）①易得直線的解析式，判斷出點(diǎn)在直線AM上，根據(jù)點(diǎn)P在AE上時(shí)，可得此時(shí)點(diǎn)P都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)；

②如圖1-2中，設(shè)平移后的直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作這條直線的垂線，垂足為，求出時(shí)OG的長，即可得到b的取值范圍；

（3）如圖2中，設(shè)Q（s，1），由題意得當(dāng)OQ＝時(shí)，⊙Q上所有點(diǎn)都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求出s即可得解．

解：（1）①∵，

∴OA＝2，OB＝，OC＝，

∴等邊中心的坐標(biāo)為；

②由題意得：，點(diǎn)是的中心，

，

點(diǎn)是的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)；

（2）①如圖1-1中，

∵OA＝2，，

∴OM＝，

易得直線的解析式為：，

∴在直線上，

因?yàn)?/span>，

所以為等邊三角形，

所以邊上的高長為，

當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，

所以當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，點(diǎn)都是等邊的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)，

所以；

如圖1-2中，設(shè)平移后的直線交軸于點(diǎn)過點(diǎn)作這條直線的垂線，垂足為，

當(dāng)時(shí)，在中，，

，

，

滿足條件的的值為；

存在，

理由：如圖2中，設(shè)，

由題意得，當(dāng)時(shí)，上所有點(diǎn)都是等邊的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)，

∴，

解得：，

或．