Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，過(guò)O做EF∥BC分別交AB、AC于E、F.

（1）求證：EF=BE+CF.

（2）在△ABC中，∠ABC的角平分線(xiàn)與∠ACB相鄰的外角的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，過(guò)O做EF∥BC分別交AB、AC于E、F，請(qǐng)你畫(huà)出圖形（不要求尺規(guī)作圖），并直接寫(xiě)出EF、BE、CF之間的關(guān)系.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）作圖見(jiàn)解析；EF=BE-CF

【解析】

（1）根據(jù)角平分線(xiàn)和平行線(xiàn)的性質(zhì)分別證明∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，從而得出EO=BE,FO=CF,即可解決問(wèn)題；

（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的額作法步驟，分別作出∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)，兩條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)O，

（1）證明：∵BO平分∠ABC，

∴∠EBO=∠OBC，

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，

∴∠EBO=∠EOB，

∴EO=BE，

同理：FO=CF，

∴EO+FO=BE+CF，

即EF=BE+CF.

（2）以點(diǎn)B為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交BA和BC與點(diǎn)M和點(diǎn)D；

分別以M和D為圓心，以大于MD的一半為半徑作弧，交于點(diǎn)N，作射線(xiàn)BN，則射線(xiàn)BN即為∠ABC的角平分線(xiàn)；

同理作∠ACB外角的角平分線(xiàn)，兩線(xiàn)交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線(xiàn)交AB與點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F.如圖所示：

∵OE∥BC，

∴∠EOB=∠CBO,

∵BN是∠ABC的角平分線(xiàn)，

∴∠ABN=∠CBO,

∴∠ABN=∠EOB,

∴BE=OE,

∵OE∥BC，

∴∠OCK=∠FOC,

∵CU是∠ACK的角平分線(xiàn)，

∴∠OCK=∠FCO,

∴∠FCO=∠FOC,

∴FO=CF,

∴BE=EO=FO+EF=EF+CF,

∴EF=BE-CF