Question

28、在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G． 一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC邊在一條直線(xiàn)上，另一條直角邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．
（1）在圖1證明：BF=CG；
（2）當(dāng)三角尺沿AC方向平移到圖2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊在同一直線(xiàn)上，另一條直角邊交BC邊于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA于點(diǎn)E．證明：DE+DF=CG；
（3）當(dāng)三角尺在（2）的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)平移到圖3所示的位置（點(diǎn)F在線(xiàn)段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，DE+DF=CG；否仍然成立？若成立說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由于∠F=∠G=90°，∠BAF=∠CAG，AB=AC，利用AAS易證△BAF≌△CAG，從而有BF=CG；
（2）先過(guò)D作DH⊥CG于點(diǎn)H，由于DE⊥BA，∠G=90°，DH⊥CG于H，易證四邊形EDHG是矩形，那么DE=HG，DH∥BG，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合AB=AC，易得∠FCD=∠GBC=∠HDC，而∠DHC=∠CFD=90°，CD=DC，利用AAS易證△DCH≌△CDF，從而DF=CH，那么DE+DF=GH+CH，即DE+DF=CG；
（3）仍然成立．證法同（2）．

解答：證明：（1）∵∠F=∠G=90°，∠BAF=∠CAG，AB=AC，
∴△BAF≌△CAG，
∴BF=CG；
（2）如右圖（2），
過(guò)D作DH⊥CG于點(diǎn)H，
∵DE⊥BA，∠G=90°，DH⊥CG于H，
∴四邊形EDHG是矩形，
∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠DHC=∠CFD=90°，CD=DC，
∴△DCH≌△CDF，
∴DF=CH，
∴DE+DF=GH+CH，
即DE+DF=CG；
（3）仍然成立．
 過(guò)D作DH⊥CG于點(diǎn)H，
∵DE⊥BA，∠G=90°，DH⊥CG于H，
∴四邊形EDHG是矩形，
∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠DHC=∠CFD=90°，CD=DC，
∴△DCH≌△CDF，
∴DF=CH，
∴DE+DF=GH+CH，
即DE+DF=CG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形判定和性質(zhì)、矩形的判定．知道有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，解題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)DH．