Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，AD=6，BC=14，AE=4

3

，點(diǎn)F在DC上運(yùn)動(dòng)，連接EF、AF．
（1）求∠B的度數(shù)．
（2）設(shè)FC=x，△FEC的面積為y，用含x的代數(shù)式表示y．
（3）當(dāng)△FEC的面積為等腰梯形面積的

1

4

時(shí)，判斷AF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）過D作DM⊥BC于M，求出BE=CM，求出BE值，解直角三角形即可求出答案．
（2）過E作EN⊥CD于N，求出CE，解直角三角形求出EN，根據(jù)三角形面積公式求出即可．
（3）根據(jù)面積得出關(guān)于x的方程，求出CF，過F作FQ∥AD，交AE于Q，求出Q為AE中點(diǎn)，F(xiàn)Q⊥AE，根據(jù)線段垂直平分線求出即可．

解答：解：（1）
過D作DM⊥BC于M，
∵AE⊥BC，
∴∠AEM=∠AEB=∠DMC=∠DME=90°，AE∥DM，
∵AD∥BC，
∴四邊形AEMD是矩形，
∴AE=DM，
∵AB=DC，
∴在Rt△AEB和Rt△DMC中，由勾股定理得：BE=CM=

1

2

（BC-AD）=

1

2

×（14-6）=4，
在Rt△AEB中，tanB=

AE

BE

=

4 3

4

=

3

，
∴∠B=60°．

（2）
過E作EN⊥CD于N，
則∠ENC=90°，CE=14-4=10，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠C=∠B=60°，
∴∠CEN=30°，
∴CN=

1

2

CE=5，由勾股定理得：EN=

102-52

=5

3

，
即y=

1

2

CF•EN=

1

2

x•5

3

，
∴y=

5 3

2

x．

（3）AF=EF，
證明：梯形ABCD的面積是

1

2

×（AD+BC）×AE=

1

2

（6+14）×4

3

=40

3

，
∵△FEC的面積為等腰梯形面積的

1

4

，
∴y=

5 3

2

x=

1

4

×40

3

，
解得：x=4，
即CF=4，
∵在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB=DC=

42+(4 3 )2

=8，
∴F為CD中點(diǎn)，
過F作FQ∥AD，交AE于Q，
∵AD∥BC，
∴AD∥FQ∥BC，
∴AQ=EQ，
∵AE⊥BC，
∴FQ⊥AE，
∴AF=EF．

點(diǎn)評：本題考查了等腰梯形性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，一次函數(shù)的解析式，平行線等分線段定理，線段垂直平分線性質(zhì)，三角形的面積的應(yīng)用，綜合性比強(qiáng)，有一定的難度．