Question

如圖，AB、CD是兩個(gè)過(guò)江電纜的鐵塔，塔AB高40米，AB的中點(diǎn)為P，塔底B距江面的垂直高度為6米．跨江電纜因重力自然下垂近似成拋物線(xiàn)形，為了保證過(guò)往船只的安全，電纜下垂的最低點(diǎn)距江面的高度不得少于30米．已知：人在距塔底B點(diǎn)西50米的地面E點(diǎn)恰好看到點(diǎn)E、P、C在一直線(xiàn)上；再向西前進(jìn)150米后從地面F點(diǎn)恰好看到點(diǎn)F、A、C在一直線(xiàn)上．
（1）求兩鐵塔軸線(xiàn)間的距離（即直線(xiàn)AB、CD間的距離）；
（2）若以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，向東的水平方向?yàn)閤軸，取單位長(zhǎng)度為1米，BA的延長(zhǎng)方向?yàn)閥軸建立坐標(biāo)系．求剛好滿(mǎn)足最低高度要求的這個(gè)拋物線(xiàn)的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，連接CA并延長(zhǎng)到F，連接CP并延長(zhǎng)到E，CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交地平面于點(diǎn)H．于是構(gòu)造了兩對(duì)相似三角形：EBP∽△EHC，△FBA∽△FHC，利用相似三角形的性質(zhì)，建立起AB、CD之間的關(guān)系式，解方程組即可；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，則可設(shè)過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)解析式為y=ax²+bx（a＞0），將C（100，20）代入上式可得關(guān)于a、b的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式和最低點(diǎn)高于地面為30-6=24（米），點(diǎn)A高度為40米，得到關(guān)于a、b的關(guān)系式，于是可以求出二次函數(shù)解析式．

解答：解：如圖，AB=40米，BP=20米，BE=50米，BF=50+150=200（米）．
設(shè)CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交地平面于點(diǎn)H．
（1）設(shè)CH=x，
BH=y（1分）
由△EBP∽△EHC得

BP

CH

=

EB

EH

，即

20

x

=

50

50+y

①（2分）
由△FBA∽△FHC得

AB

CH

=

FB

FH

，即

40

x

=

200

200+y

②（3分）
由①②解得：x=60，y=100
答：兩鐵塔軸線(xiàn)間的距離為100米；（5分）

（2）依題意建立坐標(biāo)系如圖，由（1）得CH=60米，C點(diǎn)比A點(diǎn)高20米，
這時(shí)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)為：A（0，0），C（100，20），
設(shè)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為P（x₀，y₀），
因?yàn)橐�求最低點(diǎn)高于地面為30-6=24（米），點(diǎn)A高度為40米，所以y₀=-16．
設(shè)過(guò)點(diǎn)A的拋物線(xiàn)解析式為y=ax²+bx（a＞0），則該拋物線(xiàn)滿(mǎn)足：（6分）

1002a+100b=20 y0= 4ac-b2 4a =- b2 4a =-16

（8分）
化簡(jiǎn)得：125b²+80b-16=0
解得：b₁=

4

25

，b₂=-

4

5

（9分）
∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)，有-

b

2a

＞0，而a＞0
∴b＜0，故b1=

4

25

舍去（10分）
把b₂=-

4

5

代入前式得：a=

1

100

（11分）
∴y=

1

100

x²-

4

5

x
答：所求拋物線(xiàn)的解析式為y=

1

100

x²-

4

5

x．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題是一道實(shí)際問(wèn)題，結(jié)合了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、和根據(jù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征求函數(shù)解析式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，服務(wù)于生活的本質(zhì)．