Question

（2013•晉江市質(zhì)檢）如圖，直線y=-x+1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P（a，b）為雙曲線y=

1

2x

上的一點(diǎn)，射線PM⊥x軸于點(diǎn)M，交直線AB于點(diǎn)E，射線PN⊥y軸于點(diǎn)N，交直線AB于點(diǎn)F．
（1）直接寫出點(diǎn)E與點(diǎn)F的坐標(biāo)（用含a、b的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)x＞0，且直線AB與線段PN、線段PM都有交點(diǎn)時(shí)，設(shè)經(jīng)過E、P、F三點(diǎn)的圓與線段OE相交于點(diǎn)T，連結(jié)FT，求證：以點(diǎn)F為圓心，以FT的長為半徑的⊙F與OE相切；
（3）①當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線第一象限的圖象上移動(dòng)時(shí)，求∠EOF的度數(shù)；
②當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線第三象限的圖象上移動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠EOF的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)E和點(diǎn)P的橫坐標(biāo)相等，點(diǎn)F和點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，代入直線解析式，可得出點(diǎn)E與點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)圓周角定理可得∠FTE=90°，結(jié)合FT是⊙F的直徑，可判斷出結(jié)論；
（3）①根據(jù)（1）所求的坐標(biāo)，表示出PF、PE，利用勾股定理求出EF、OE、BE，及EF×BE的值，結(jié)合點(diǎn)P（a，b）在反比例函數(shù)上，可得2ab=1，繼而可推出EF•BE=OE²，證明△OEF∽△BEO，即可得出∠EOF的度數(shù)．
②根據(jù)①相似三角形判定的過程，可證明△OE'F'∽△BE'O，繼而可得出此時(shí)∠EOF的度數(shù)．

解答：解：（1）E（a，1-a），F(xiàn)（1-b，b）．

（2）∵PM⊥x軸，PN⊥y軸，
∴四邊形NOMP是矩形，
∴∠P=90°，
∴EF是⊙Q的直徑．（不妨設(shè)經(jīng)過E、P、F三點(diǎn)的圓為⊙Q），
∴∠FTE=90°，
∴FT⊥OE，
又∵OE經(jīng)過半徑FT的外端T，
∴OE是⊙F的切線．

（3）①由直線y=-x+1可求得：B（0，1），A（1，0），即△ABO是等腰直角三角形，如圖所示，
由（1）得：E（a，1-a），F(xiàn)（1-b，b），
則PF=PN-FN=a-（1-b）=a+b-1，PE=PM-EM=b-（1-a）=a+b-1，
在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF=

(a+b-1)2+(a+b-1)2

=

2

(a+b-1)，
同理可得：OE=

a2+(1-a)2

=

2a2-2a+1

，BE=

a2+[1-(1-a)]2

=

2

a，
∴OE²=2a²-2a+1，EF•BE=

2

(a+b-1)•

2

a=2a2+2ab-2a，
∵P（a，b）在反比例函數(shù)圖象上，
∴b=

1

2a

，即2ab=1，
∴EF•BE=

2

(a+b-1)•

2

a=2a2+1-2a，
∴EF•BE=OE²，即

OE

EF

=

BE

OE

，
又∵∠OEF=∠BEO，
∴△OEF∽△BEO．
∴∠EOF=∠ABO=45°，
綜上可得：∠EOF的度數(shù)是45°．
②如圖所示：根據(jù)①的證明過程可得：△OE'F'∽△BE'O，
故可得∠E'OF'=∠E'BO=180°-∠ABO=135°，
故當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線第三象限的圖象上移動(dòng)時(shí)∠EOF的度數(shù)是135°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)的綜合題，融合了矩形、等腰直角三角形、三角形面積的求法、兩點(diǎn)間的距離公式、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)，難點(diǎn)在于第三問，熟練掌握相似三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵．