Question

【題目】已知拋物線=（≠0）與軸交于AB兩點(diǎn),與軸交于C點(diǎn),其對(duì)稱軸為=1,且A（-1,0）C（0,2）.

（1）直接寫(xiě)出該拋物線的解析式;

（2）P是對(duì)稱軸上一點(diǎn),△PAC的周長(zhǎng)存在最大值還是最小值?請(qǐng)求出取得最值（最大值或最小值）時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

（3）設(shè)對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)H,點(diǎn)D為線段CH上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)CH重合）.點(diǎn)P是（2）中所求的點(diǎn).過(guò)點(diǎn)D作DE∥PC交軸于點(diǎn)E.連接PDPE.若CD的長(zhǎng)為,△PDE的面積為S,求S與之間的函數(shù)關(guān)系式,試說(shuō)明S是否存在最值,若存在,請(qǐng)求出最值,并寫(xiě)出S取得的最值及此時(shí)的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) =-++2;(2) P（1,）;(3)見(jiàn)解析.

【解析】分析：

（1）由已知條件易得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），這樣結(jié)合點(diǎn)A、C的坐標(biāo)即可求得拋物線的解析式；

（2）由題意可知，AC長(zhǎng)度是固定值，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線x=1對(duì)稱，由此可得連接BC交直線x=1于點(diǎn)P，此時(shí)△PAC的周長(zhǎng)最小，求得直線BC的解析式，即可求得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，畫(huà)出符合題意的圖形，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，交對(duì)稱軸x=1于點(diǎn)N，在Rt△OCH中易得CH=，由Rt△CDF∽R(shí)t△CHO，可將CF、OF和FD用含m的代數(shù)式表達(dá)出來(lái)，從而可表達(dá)出點(diǎn)D和點(diǎn)N的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求得用含m的代數(shù)式表達(dá)的DE的解析式，即可表達(dá)出點(diǎn)E的坐標(biāo)和點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后由S=S△PDE=S△PDQ+S△PEQ=即可得到S與m間的函數(shù)關(guān)系式，將所得解析式化簡(jiǎn)、配方即可得到所求答案.

詳解：

（1）∵拋物線=（≠0）與軸交于AB兩點(diǎn),其對(duì)稱軸為=1,且A（-1,0），

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），

∴可設(shè)拋物線解析式為：，

∵拋物線和y軸交于點(diǎn)C（0，2），

∴，解得：，

∴，即；

（2）△PAC的周長(zhǎng)有最小值，連結(jié)ACBC，

∵AC的長(zhǎng)度一定,

∴要使△PAC的周長(zhǎng)最小,就是使PA+PC最小.

∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸=1的對(duì)稱點(diǎn)是B點(diǎn),

∴BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P（如圖2）,

設(shè)直線BC的表達(dá)為:=,則有

,解得,∴:=-+2,

把=1代入,得=,

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（1,）,

∴△PAC的周長(zhǎng)取得最小值,取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（1,）；

（3）如圖2，設(shè)DE對(duì)稱軸x=1于點(diǎn)Q,

在Rt△COH中，由勾股定理得CH===.

過(guò)點(diǎn)D作DF⊥軸于點(diǎn)F，交對(duì)稱軸=1于點(diǎn)N，

∵Rt△CDF∽R(shí)t△CHO，

∴，

∴CF===，OF=CO-CF=2-；

同樣： ，FD===，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（,2-），

∴N（1，2-）.

∵DE∥BC，

∴可設(shè)（過(guò)點(diǎn)DE的直線）:=-+，

把D點(diǎn)坐標(biāo)代入其中，得- +=2-，

解得=2-，

∴：=-+2-，

點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為0，代入其中，解得=3-，

∴E（3-，0）.

∵點(diǎn)Q在對(duì)稱軸=1上，把=1代入中，解得=-，

∴Q（1,-）.

PQ=-（-）=,DN=1-，

EH=3--1=2-.

S=S△PDE=S△PDQ+S△PEQ=PQ·DN+PQ·EH

=PQ（DN+EH）=·（1-+2-）,

化簡(jiǎn)得S=-+,

可知S是關(guān)于的二次函數(shù).

S存在最大值.

配方可得:S=-+,由此可得,S取得最大值為,

取得最大值時(shí)的值為:=.