Question

16、設(shè)A=x²+y²+2x-2y+2，B=x²-5x+5，x，y均為正整數(shù)．若B^A=1，則x的所有可以取到的值為

1，2，3，4

Answer 1

分析：如果B^A=1，那么可能有三種情況：①A=0且B≠0，②B=1，③B=-1且A為偶數(shù)．首先判斷當(dāng)x，y均為正整數(shù)時(shí)，A≠0，所以排除第一種情況；然后分別令B=1，B=-1，求出對(duì)應(yīng)的x的值，并判斷B=-1時(shí)A是否為偶數(shù)．

解答：解：∵A=x²+y²+2x-2y+2=（x+1）²+（y-1）²，
∴當(dāng)x=-1且y=1時(shí)，A=0，
而x，y均為正整數(shù)，
∴A≠0．
分如下兩種情況：
①當(dāng)B=1時(shí)，x²-5x+5=1，
即x²-5x+4=0，
解得x=1或4；
②當(dāng)B=-1時(shí)，x²-5x+5=-1，
即x²-5x+6=0，
解得x=2或3．
當(dāng)x=2時(shí)，A=（2+1）²+（y-1）²=9+（y-1）²，y為偶數(shù)時(shí)，A為偶數(shù)，符合題意；
當(dāng)x=3時(shí)，A=（3+1）²+（y-1）²=16+（y-1）²，y為奇數(shù)時(shí)，A為偶數(shù)，符合題意．
綜上可知，x的所有可以取到的值為1，2，3，4．
故答案為1，2，3，4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查有理數(shù)乘方的運(yùn)算性質(zhì)及分類討論思想，屬于競(jìng)賽題型，有一定難度．