Question

【題目】如圖（1），正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，連結(jié)EB，過點(diǎn)A作AM⊥BE，垂足為M，AM與BD相交于點(diǎn)F．
（1）求證：OE=OF；
（2）如圖（2）若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AM⊥BE于點(diǎn)M，AM交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其他條件不變，結(jié)論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形．

∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．

又∵AM⊥BE，

∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，

∴∠MEA=∠AFO．

在△BOE和△AOF中，

∵ ，

∴△BOE≌△AOF．

∴OE=OF．

（2）解：OE=OF成立．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．

又∵AM⊥BE，

∴∠F+∠MBF=90°，

∠E+∠OBE=90°，

又∵∠MBF=∠OBE，

∴∠F=∠E．

在△BOE和△AOF中，

∵ ，

∴△BOE≌△AOF．

∴OE=OF．

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)對(duì)角線垂直且平分，得到OB=OA，又因?yàn)锳M⊥BE，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，從而求證出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．（2）根據(jù)第一步得到的結(jié)果以及正方形的性質(zhì)得到OB=OA，再根據(jù)已知條件求證出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．
【考點(diǎn)精析】利用正方形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．