Question

【題目】△ABC是等邊三角形，點C關于AB對稱的點為C′，點P是直線C′B上的一個動點，連接AP，作∠APD＝60°交射線BC于點D．

（1）若點P在線段C′B上（不與點C′，點B重合）

①如圖1，當點P是線段C′B的中點時，直接寫出線段PD與線段PA的數量關系　 　．

②如圖2，點P是線段C′B上任意一點，證明PD與PA的數量關系．

（2）若點P在線段C′B的延長線上，

①依題意補全圖3；

②直接寫出線段BD，AB，BP之間的數量關系為：　 　．

Answer 1

【答案】（1）①PD＝PA；②詳見解析；（2）①詳見解析；②BD＝BP+AB．

【解析】

（1）①如圖1中，連接AC′，可證△ABC′是等邊三角形，由PB＝PC′，推出PA⊥BC′，可求∠BDP＝∠BPD＝30°，可得PB＝PD，由“SAS”可證△ABD≌△ABP，可得AP＝AD，由等邊三角形的性質可求解；

②如圖2中，作∠BPE＝60°交AB于點E，只要證明△PBD≌△PEA（ASA）即可解決問題；

（2）①根據要求畫出圖形即可解決問題；

②結論：BD＝BP+AB．如圖3中，在BD上取一點E，使得BE＝PB．只要證明△BPA≌△EPD（SAS），即可解決問題．

（1）①解：如圖1中，連接AC′．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝60°，

∵點C'與點C關于AB對稱，

∴∠C'BA＝∠CBA＝60°，BC′＝BC＝BA，

∴△ABC′是等邊三角形，

∵PB＝PC′，

∴PA⊥BC′，且∠APD＝60°，

∴∠BPD＝30°，且∠PBD＝120°

∴∠BDP＝∠BPD＝30°，

∴PB＝BD，且∠ABC＝∠ABC'＝60°，AB＝AB，

∴△ABD≌△ABP（SAS）

∴AP＝AD，且∠APD＝60°，

∴△APD是等邊三角形，

∴AP＝PD，

故答案為AP＝PD．

②證明：如圖2中，作∠BPE＝60°交AB于點E．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝60°，

∵點C'與點C關于AB對稱，

∴∠C'BA＝∠CBA＝60°＝∠BPE，

∴∠PEB＝60°．

∴△PBE是等邊三角形，

∴PB＝PE，AEP＝120°＝∠PBD．

∵∠BPD+∠DPE＝60°，∠APE+∠DPE＝60°，

∴∠BPD＝∠APE，

在△PBD和△PEA中，

∴△PBD≌△PEA（ASA）．

∴PD＝PA．

（2）①解：補全圖形，如圖3所示：

②解：結論：BD＝BP+AB．

理由：如圖3中，在BD上取一點E，使得BE＝PB．

∵∠EBP＝60°，BE＝BP，

∴△EBP是等邊三角形，

由（1）可知：△PAD是等邊三角形，

∴∠BPE＝∠APD＝60°，

∴∠APB＝∠EPD，

∵PB＝PE，PA＝PD，

∴△BPA≌△EPD（SAS），

∴AB＝DE，

∴BD＝BE+ED＝BP+AB．

故答案為BD＝BP+AB．