Question

已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按圖1擺放（點(diǎn)C與E重合），點(diǎn)B，C，E，F(xiàn)始終在同一條直線上，∠ACB=∠EDF=45°，AC=8，BC=6，EF=10．如圖2，△DEF從圖1位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向△ABC勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，AC與△DEF的直角邊相交于點(diǎn)Q，當(dāng)E到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，△DEF與點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t（s）．解答下列問題：
（1）當(dāng)D在AC上時(shí)，求t的值；
（2）在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)P，使△APQ為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．
（3）連接PE，設(shè)四邊形APEQ的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出即可；
（2）①AP=AQ，求出即可；②AP=PQ，作PH⊥AC于H，根據(jù)相似得出比例式，即可求出答案；③AQ=PQ，作PH⊥AC于H，根據(jù)相似得出比例式，④當(dāng)5≤t≤10時(shí)，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，利用相似與勾股定理，即可求出答案；
（3）根據(jù)四邊形APEQ的面積=

1

2

AC•BC-

1

2

EC•EQ-

1

2

BE•PM，由三角形的面積之差就可以表示出四邊形的面積，分兩種情況可以求出y與t之間的關(guān)系式．

解答：解：（1）當(dāng)D在AC上時(shí)，
∵DE=DF，
∴EC=CF=

1

2

EF=5，
∴t=5；

（2）存在．
∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
AQ=8-t，當(dāng)0≤t＜5時(shí)，
①AP=AQ，
t=8-t，
∴t=4；
②AP=PQ，
作PH⊥AC于H，
AH=HQ=

1

2

AQ=4-

1

2

t，
∵PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴

AP

AH

=

AB

AC

∴

t

4- 1 2 t

=

10

8

，
∴t=

40

13

；
③AQ=PQ，
作QI⊥AB于I，
AI=PI=

1

2

AP=

1

2

t（等腰三角形的性質(zhì)三線合一），
∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△AIQ∽△ACB，
∴

AI

AQ

=

AC

AB

，
∴

1 2 t

8-t

=

8

10

，
∴t=

64

13

；
④當(dāng)5≤t≤10時(shí)，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，
同理可求出，
FC=QC=10-t，BP=10-t，
PH=

4

5

（10-t）=8-

4

5

t，
BH=

3

5

（10-t）=6-

3

5

t，
QG=QC-GC=QC-PH=10-t-（8-

4

5

t）=2-

t

5

，PG=HC=6-（6-

3

5

t）=

3

5

t，
PQ=AQ=8-（10-t）=t-2，
∴PQ ²=PG ²+QG ²，
（t-2）²=（

3

5

t）²+（2-

t

5

）²，
解得：t₁=0（舍去），t₂=

16

3

秒，
綜合上述：當(dāng)t等于4秒、

40

13

秒、

64

13

秒、

16

3

秒時(shí)△APQ是等腰三角形．

（3）如圖4，過點(diǎn)P作PM⊥BE于M，
∴∠BMP=90°．
∴△ABC∽△PBM，
∴

AC

PM

=

AB

PB

，
∴

8

PM

=

10

10-t

，
∴PM=8-

4

5

t．
①當(dāng)0＜t＜5時(shí)，
y=

1

2

AC•BC-

1

2

EC•CQ-

1

2

BE•PM
=

1

2

×8×6-

1

2

×t×t-

1

2

×(6-t)(8-

4

5

t)，
=-

9

10

t2+

32

5

t；
②如圖5，當(dāng)5≤t＜6時(shí)，
y=

1

2

×8×6-

1

2

×t×(10-t)-

1

2

×(6-t)(8-

4

5

t)，
=

1

10

t2+

7

5

t．
綜上所述，y與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=

- 9 10 t2+ 32 5 t   (0＜t＜5) 1 10 t2+ 7 5 t       (5≤t＜6)

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、利用三角形的面積公式求二次函數(shù)的解析式，勾股定理的運(yùn)用，特殊圖形的面積的求法等知識(shí)，圖形較復(fù)雜，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，綜合性強(qiáng)，難度較大．