Question

如圖，線段AB的長度為1．
（1）線段AB上的點(diǎn)C滿足系式AC²=BC•AB，求線段AC的長度；
（選做）（2）線段AC上的點(diǎn)D滿足關(guān)系式AD²=CD•AC，求線段AD的長度；
（選做）（3）線段AD上的點(diǎn)E滿足關(guān)系式AE²=DE•AD，求線段AE的長度；
上面各題的結(jié)果反映了什么規(guī)律？（提示：在每一小題中設(shè)x和l）

Answer 1

分析：（1）設(shè)AC=x，則BC=AB-AC=1-x，x²=1×（1-x），整理得x²+x-1=0，然后解方程即可；
（2）設(shè)線段AD的長度為x，AC=l，則x²=l×（l-x），然后解方程；
（3）與（2）的解法一樣．
利用黃金分割的定義總結(jié)規(guī)律．

解答：解：（1）設(shè)AC=x，則BC=AB-AC=1-x，
∵AC²=BC•AB，
∴x²=1×（1-x），
整理得x²+x-1=0，
解得x₁=

5 -1

2

，x₂=

5 +1

2

（舍去），
所以線段AC的長度為

5 -1

2

；
（2）設(shè)線段AD的長度為x，AC=l，
∵AC²=BC•AB，
∴x²=l×（l-x），
∴x₁=

5 -1

2

l，x₂=

5 +1

2

l（舍去），
∴線段AD的長度

5 -1

2

AC；
（3）同理得到線段AE的長度

5 -1

2

AD；
上面各題的結(jié)果反映：若線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC），則C點(diǎn)為AB的黃金分割點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)；其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．