Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝8，BD為邊AC上的中線，點(diǎn)E在邊BC上，且BE：BC＝3：8，點(diǎn)P在Rt△ABC的邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PD：AB＝1：2時(shí)，EP的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】或或

【解析】

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到ABAC=4，BC=4，∠A=60°，過(guò)D作DF⊥AB于F，則DF∥BC，由直角三角形的性質(zhì)得到AD=CD=BD，得到DF的長(zhǎng)，當(dāng)PD：AB=1：2時(shí)，點(diǎn)P在AC和BC上，然后分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在BC上，②當(dāng)P點(diǎn)在線段AD上時(shí)，③當(dāng)P點(diǎn)在線段CD上時(shí)．

∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=8，∴ABAC=4，BC=4，∠A=60°．

∵PD：AB=1：2，∴PD=2．

過(guò)D作DF⊥AB于F，則DF∥BC．

∵BD為邊AC上的中線，∴AD=CD=BD，∴AF=BF，∴DF=2．

∵點(diǎn)P在Rt△ABC的邊上運(yùn)動(dòng)，PD=2＜2，∴當(dāng)PD：AB=1：2時(shí)，點(diǎn)P在AC和BC上．

①當(dāng)點(diǎn)P在BC上．

∵PD=2AB，∴P為BC的中點(diǎn)，∴BPBC=2．

∵BE：BC=3：8，∴BE，∴EP=BP﹣BE；

②當(dāng)P點(diǎn)在線段AD上時(shí)．

∵PD=2，AD=4，∴P為AD的中點(diǎn)，∴AP=2，過(guò)P作PG⊥BC于G，∴PG∥AB，∴△CPG∽△CAB，∴，∴，∴PG=3，CG=3，∴GE，∴PE；

③當(dāng)P點(diǎn)在線段CD上時(shí)．

∵PD=2，CD=4，∴PC=2，過(guò)P作PH⊥BC于H，∴PH=1，CH，∴EH，∴PE．

綜上所述：EP的長(zhǎng)為或或．

故答案為：或或．