Question

在正方形ABCD中，點(diǎn)P是CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，分別過點(diǎn)B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分別為E、F．
（1）如圖1，請?zhí)剿鰾E、DF、EF這三條線段長度具有怎樣的數(shù)量關(guān)系．直接寫出結(jié)論．
（2）若點(diǎn)P在DC的延長線上（如圖2），那么這三條線段的長度之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（3）若點(diǎn)P在CD的延長線上呢（如圖3）？請分別直接寫出結(jié)論并簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可知證出△ABE≌△DAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)：全等三角形對應(yīng)邊相等可得：BE=AF，AE=DF，得出BE=EF+DF；
（2）同（1）的證法相同，先證明△ABE≌△DAF，利用全等三角形的性質(zhì)可得：BE=AF，BE=DF，再根據(jù)等量代換可得出圖（2）中DF=EF+BE；
（3）同（1）的證法相同，可得出圖（3）中EF=EB+FD．

解答：（1）BE=EF+DF，
證明：∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
∵在△BAE和△ADF中

∠BEA=∠AFD ∠BAE=∠ADF AB=AD

，
∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AF-AE=EF，
∴BE-DF=EF．

（2）DF=BE+EF，
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE+∠DAF=90°，
∵BE⊥PA、DF⊥PA，
∴∠AEB=∠DFA=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
∵在△ABE和△DAF中：

∠ABE=∠DAF ∠BEA=∠AFD=90° AB=DA

，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AE=AF+EF，
∴DF=EB+EF．

（3）EF=BE+DF．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵BE⊥PA、DF⊥PA，
∴∠AEB=∠DFA=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵在△ABE和△DAF中：

∠BEA=∠AFD=90° ∠1=∠2 AB=DA

，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF（全等三角形對應(yīng)邊相等），
∵EF=AF+AE，
∴EF=EB+FD（等量代換）．

點(diǎn)評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定．關(guān)鍵是熟練掌握：①正方形的性質(zhì)：正方形四條邊相等，四個(gè)角相等；②判定兩個(gè)三角形全等的方法：SSS、SAS、AAS、ASA．