Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)F，且點(diǎn)F恰好為邊AD的中點(diǎn)．

（1）求證：△ABF≌△DEF；

（2）若AG⊥BE于G，BC＝4，AG＝1，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）4

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABF=∠E，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義可求出AB=AF，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出BG的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出BF的長(zhǎng)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BF=EF，所以BE=2BF，問(wèn)題得解．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠ABF＝∠E，

∵點(diǎn)F恰好為邊AD的中點(diǎn)，

∴AF＝DF，

在△ABF與△DEF中，

，

∴△ABF≌△DEF；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD＝BC＝4，

∵∠AFB＝∠FBC，

∵∠ABC的平分線與CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，

∴∠ABF＝∠FBC，

∴∠AFB＝∠ABF，

∴AB＝AF，

∵點(diǎn)F為AD邊的中點(diǎn)，AG⊥BE．

∴BG＝，

∴BE＝2，

∵△ABF≌△EDF，

∴BE＝2BF＝4．