Question

14、甲、乙、丙、丁四人分別按下列的要求作一個解為x₁，x₂的一元二次方程x²+px+q=0．
甲：p，q，x₁，x₂都取被3除余1的整數(shù)；
乙：p，q，x₁，x₂都取被3除余2的整數(shù)；
丙：p，q取被3除余1的整數(shù)，x₁，x₂取被3除余2的整數(shù)；
�。簆，q取被3除余2的整數(shù)，x₁，x₂取被3除余1的整數(shù)；
問：甲、乙、丙、丁是否能按上述要求各自作出方程？若可以作出，請你寫出一個這樣的方程，若不能作出，請你說明理由．

Answer 1

分析：結(jié)合題意，x₁，x₂是一元二次方程x²+px+q=0的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，結(jié)合帶余數(shù)的除法運算運算性質(zhì)分別進行驗證即可．

解答：解：∵甲、乙、丙、丁四人分別按下列的要求作一個解為x₁，x₂的一元二次方程x²+px+q=0．
甲：p，q，x₁，x₂都取被3除余1的整數(shù)；
假設(shè)x₁=3n+1，x₂=3m+1，
∵x₁+x₂=-p=3n+1+3m+1=3（m+n）+2，
∴3（m+n）+2被除3余2，即-p被除3余2，
∴不能按上述要求作出方程；

乙：p，q，x₁，x₂都取被3除余2的整數(shù)；
假設(shè)x₁=3n+2，x₂=3m+2，
∵x₁+x₂=-p=3n+2+3m+2=3（m+n）+4=3（m+n+1）+1，
∴3（m+n+1）+1被除3余1，即-p被除3余1，
∴不能按上述要求作出方程，

丙：p，q取被3除余1的整數(shù)，x₁，x₂取被3除余2的整數(shù)；
假設(shè)x₁=3n+2，x₂=3m+2，
∵x₁+x₂=-p=3n+2+3m+2=3（m+n）+4=3（m+n+1）+1，
∴3（m+n+1）+1被除3余1，即-p被除3余1，
∵x₁x₂=q=（3n+2）（3m+2）=9mn+3n+3m+4=3（3mn+m+n+1）+1，
∴3（3mn+m+n+1）+1被除3余1，即q被除3余1，
∴能按上述要求作出方程，
例如：x²-13x+40=0，等（答案不唯一）

丁：p，q取被3除余2的整數(shù)，x₁，x₂取被3除余1的整數(shù)；
假設(shè)x₁=3n+1，x₂=3m+1，
∵x₁+x₂=-p=3n+1+3m+1=3（m+n）+2，
∴3（m+n）+2被除3余2，即-p被除3余2，
∵x₁x₂=q=（3n+1）（3m+1）=9mn+3m+3n+1=3（3mn+m+n）+1，
∴3（3mn+m+n+1）+1被除3余1，即q被除3余1，
∴不能按上述要求作出方程．

點評：此題主要考查了帶余數(shù)的除法性質(zhì)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合兩根的特點得出p與q被3除的余數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．