Question

如圖，正方形ABCO的邊長(zhǎng)為

5

，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，把正方形ABCO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α后得到正方形A₁B₁C₁O（α＜45°），B₁C₁交y軸于點(diǎn)D，且D為B₁C₁的中點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)A₁、B₁、C₁．
（1）填空：tanα=

1

2

；拋物線的函數(shù)表達(dá)式是

y=-

5

6

x²-

1

2

x+

10

3

；
（2）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△PB₁C₁為直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若正方形A₁B₁C₁O以每秒2

5

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線A₁O下滑，直至頂點(diǎn)B₁落在x軸上時(shí)停止．設(shè)正方形落在x軸上方部分的面積為S，求S關(guān)于滑行時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①在Rt△ODC₁中，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∠DOC₁=α，而DC₁是正方形邊長(zhǎng)的一半，可據(jù)此求出∠α的正切值；
②在求拋物線的解析式中，必須先求出A₁、B₁、C₁三點(diǎn)的坐標(biāo)，可過(guò)這三點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線（具體向哪條坐標(biāo)軸作垂線，可視情況而定），通過(guò)構(gòu)建的直角三角形以及∠α的正切值，可求出這三點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可．
（2）首先要大致確定有幾個(gè)符合條件的點(diǎn)P：
①點(diǎn)B₁是直角頂點(diǎn)，那么點(diǎn)P必為直線A₁B₁與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)（有一個(gè)）；
②點(diǎn)C₁是直角頂點(diǎn)，那么點(diǎn)P必為直線OC₁與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)（有一個(gè)）；
③點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)，那么點(diǎn)P必為以線段B₁C₁為直徑的圓與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)（有兩個(gè)），可過(guò)B₁、C₁作對(duì)稱(chēng)軸的垂線，通過(guò)構(gòu)建的相似三角形來(lái)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）此題的思路并不復(fù)雜，但需要考慮的情況較多，大致分成三段考慮即可：
①x軸在O、A₁兩點(diǎn)之間、②x軸在A₁、C₁兩點(diǎn)之間、③x軸在B₁、C₁兩點(diǎn)之間．

解答：解：（1）①∵四邊形A₁B₁C₁O為正方形，
∴OC₁=B₁C₁，∠OC₁B₁=90度．
又∵D是B₁C₁的中點(diǎn)，
∴C1D=

1

2

B1C1=

1

2

OC1．
∵由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠C₁OD=∠AOA₁=α，
∴在Rt△C₁OD中，tanα=

C1D

OC1

=

1

2

．
∴tanα的值是

1

2

．
②過(guò)點(diǎn)A₁作A₁E⊥x軸，垂足為點(diǎn)E．
在Rt△A₁EO中，tanα=

A1E

OE

，
∴

A1E

OE

=

1

2

．
設(shè)A₁E=k，則OE=2k，在Rt△A₁EO中，OA1=

5

，
根據(jù)勾股定理，得A₁E²+OE²=OA₁²．
即k2+(2k)2=(

5

)2，
解得k₁=-1（舍），k₂=1．
∴A₁E=1，OE=2．
又∵點(diǎn)A₁在第二象限，
∴點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（-2，1）．
直接寫(xiě)出點(diǎn)B₁的坐標(biāo)為（-1，3），點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（1，2）．
∵拋物線y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)A₁，B₁，C₁．
∴

4a-2b+c=1 a-b+c=3 a+b+c=2

解得

a=- 5 6 b=- 1 2 c= 10 3

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-

5

6

x2-

1

2

x+

10

3

．

（2）將（1）的拋物線解析式配方，得y=-

5

6

(x+

3

10

)2+

409

120

．
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-

3

10

．
假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，分三種情況：
①以點(diǎn)B₁為直角頂點(diǎn)；
易求得，直線A₁B₁的解析式：y=2x+5，
當(dāng)x=-

3

10

時(shí)，y=2×（-

3

10

）+5=

22

5

；
②以點(diǎn)C₁為直角頂點(diǎn)；
易求得，直線OC₁的解析式：y=2x，
當(dāng)x=-

3

10

時(shí)，y=2×（-

3

10

）=-

3

5

；
③以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)；
分別過(guò)點(diǎn)B₁、C₁作拋物線對(duì)稱(chēng)軸的垂線，垂足為G、H；（如右圖）
設(shè)點(diǎn)P（-

3

10

，y）：
當(dāng)點(diǎn)P在直線B₁C₁上方時(shí)，
B₁G=1-

3

10

=

7

10

、PG=y-3、C₁H=1+

3

10

=

13

10

、PH=y-2
∵∠B₁PG=90°-∠C₁PH=∠PC₁H，∠B₁GP=∠PHC₁=90°
∴△B₁GP∽△PHC₁，則

7 10

y-2

=

y-3

13 10

解得：y=

25+2 29

10

、y=

25-2 29

10

（舍）；
當(dāng)點(diǎn)P在直線B₁C₁下方時(shí)，同上，可求得y=

25-2 29

10

；
綜上，存在點(diǎn)P，使△PB₁C₁為直角三角形．
滿足條件的點(diǎn)P共有4個(gè)：P1(-

3

10

，

22

5

)，P2(-

3

10

，-

3

5

)，P3(-

3

10

，

25+2 29

10

)，P4(-

3

10

，

25-2 29

10

)．

（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)后的正方形為O′A′B′C′，分三種情況：
①當(dāng)點(diǎn)A′運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t=

1

2

；
當(dāng)0＜t≤

1

2

時(shí)，如圖①；
OO′=2

5

t，O′E=

1

2

OO′=

5

t
∴S=S_正方形-S_△OO′E=5-

1

2

×2

5

t×

5

t=-5t²+5；
②當(dāng)點(diǎn)C′運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t=1；
當(dāng)

1

2

＜t＜1時(shí)，如圖②；
OO′=2

5

t，OA′=2

5

t-

5

，A′F=

1

2

OA′=

2 5 t- 5

2

，O′E=

1

2

OO′=

5

t
B′F=A′B′-A′F=

3 5 -2 5 t

2

，C′E=O′C′-O′E=

5

-

5

t；
∴S=

1

2

（B′F+C′E）×B′C′=

1

2

（

3 5 -2 5 t

2

+

5

-

5

t）×

5

=

25-20t

4

；
③當(dāng)點(diǎn)B′運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t=

3

2

；
當(dāng)1≤t＜

3

2

時(shí)，如圖③；
同②可得：B′F=A′B′-A′F=

3 5 -2 5 t

2

，B′E=2B′F=3

5

-2

5

t；
∴S=

1

2

×

3 5 -2 5 t

2

×（3

5

-2

5

t）=5t²-15t+

45

4

；
綜上，S=

-5t2+5 (0＜t≤ 1 2 ) -5t+ 25 4  ( 1 2 ＜t＜1) 5t2-15t+ 45 4  (1≤t＜ 3 2 )

．

點(diǎn)評(píng)：此題涉及的內(nèi)容相等復(fù)雜，難度很大，主要考查的知識(shí)點(diǎn)有：函數(shù)解析式的確定、正方形的性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)、解直角三角形的應(yīng)用、相似三角形與直角三角形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的解法等等．后兩題涉及的情況較多，一定要注意分類(lèi)討論．最后一題中，一定要注意t的不同取值范圍內(nèi)，正方形的運(yùn)動(dòng)位置．