Question

【題目】如果拋物線的頂點(diǎn)在拋物線上，同時，拋物線的頂點(diǎn)在拋物線上，那么，我們稱拋物線與關(guān)聯(lián)．

（1）已知拋物線，判斷下列拋物線：①；② 與已知拋物線是否關(guān)聯(lián)，并說明理由；

（2）已知拋物線: ，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線（此處我們稱點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)），若拋物線與關(guān)聯(lián)，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，已知點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，求以點(diǎn)A為頂點(diǎn)并與拋物線相關(guān)聯(lián)的拋物線的解析式，并判斷此時拋物線能否由拋物線旋轉(zhuǎn)得來？若能，請求出旋轉(zhuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請說明你的理由；

（4）由上述結(jié)論猜想：若兩拋物線相關(guān)聯(lián)，則它們的二次式項系數(shù)（分別記為）應(yīng)滿足數(shù)量關(guān)系： ．

參考公式（中點(diǎn)坐標(biāo)公式）：若點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

Answer 1

【答案】（1）拋物線①與已知拋物線相關(guān)聯(lián)，而拋物線②不與已知拋物線相關(guān)聯(lián)，理由見解析；（2）拋物線： 或；（3）旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；（4）．

【解析】試題分析：（1）首先求出拋物線①、②的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)定義的拋物線關(guān)聯(lián)條件即可進(jìn)行判斷．

（2）先求出拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)C2頂點(diǎn)為（x,y）,根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知拋物線C2的頂點(diǎn)與C1的頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P(t，-1)對稱，從而可用含t的代數(shù)式表示C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)定義代入C1的解析式，確定出C2的頂點(diǎn)，從而可求出C2的解析式；

（3）根據(jù)題意求出A點(diǎn)坐標(biāo)，從而可利用頂點(diǎn)式來確定C2的解析式，從而可確定出旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（4）根據(jù)定義若關(guān)聯(lián)，則二次項系數(shù)互為相反數(shù)，從而可得.

試題解析：（1）已知拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

拋物線①，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

拋物線②，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

很明顯點(diǎn)在拋物線①上，且點(diǎn)也在已知拋物線

上，而點(diǎn)并不在已知拋物線上，

故拋物線①與已知拋物線相關(guān)聯(lián)，而拋物線②不與已知拋物線相關(guān)聯(lián)；

（2）拋物線: ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式： ，

解得： ．將代入拋物線，

即： ，解得：t＝0或t＝2，

即拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為或．

又拋物線與拋物線開口大小相同，但方向相反，

∴拋物線： 或，

即拋物線： 或；

（3）將代入拋物線，得： ，∴．

設(shè)拋物線： ，將拋物線的頂點(diǎn)代入，

解得： ．此時拋物線： ，即．

∵兩拋物線開口大小相同，但方向相反，∴拋物線能否由拋物線旋轉(zhuǎn)得來，

旋轉(zhuǎn)點(diǎn)為兩頂點(diǎn)與的中點(diǎn)，即．

（4）．