Question

拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為.

1.（1）寫出拋物線的對稱軸及、兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）

2.（2）連接并以為直徑作⊙，當(dāng)時，請判斷⊙是否經(jīng)過點(diǎn)，并說明理由；

3.（3）在（2）題的條件下，點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，過作直線垂直于對稱軸，垂足為. 那么是否存在這樣的點(diǎn)，使△與以、、為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

 

1.（1）過點(diǎn)C作CH⊥軸，垂足為H

 ∵在Rt△OAB中，∠OAB＝90⁰，∠BOA＝30⁰，AB＝2    ∴OB＝4，OA＝

 由折疊知，∠COB＝30⁰，OC＝OA＝

∴∠COH＝60⁰，OH＝，CH＝3   ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）

2.（2）∵拋物線（≠0）經(jīng)過C（，3）、A（，0）兩點(diǎn)

              ∴      解得：

    ∴此拋物線的解析式為：

3.（3）存在.  因為的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）即為點(diǎn)C，MP⊥軸，設(shè)垂足為N，PN＝，因為∠BOA＝30⁰，所以O(shè)N＝ ，  ∴P（，）

        作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E

把代入得：

         ∴ M（，），E（，）

        同理：Q（，），D（，1）

         要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD

         即，解得：，（舍）

        ∴ P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

∴ 存在滿足條件的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點(diǎn)的坐為（，）      （12分）

 

解析:略