Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(0,3)與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)C(n,0)為x軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)．以AC為邊作等腰直角三角形ACD，∠ACD=90°，點(diǎn)D在第一象限內(nèi)．連接BD，交x軸于點(diǎn)F．

(1)如果∠OAC=38°,求∠DCF的度數(shù)；

(2)用含n的式子表示點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過程中，判斷OF的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若不變求出其值，若變化請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）38°；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)（n+3，n）；（3）OF的長(zhǎng)不會(huì)變化，值為3．

【解析】

（1）根據(jù)同角的余角相等可得∠DCF =∠OAC，進(jìn)而可得結(jié)果；

（2）作DH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖1，則可根據(jù)AAS證明△AOC≌△CHD，于是可得OC=DH，AO=CH，進(jìn)而可得結(jié)果；

（3）方法一：由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AC=BC，于是可得AC=BC=DC，進(jìn)一步即得∠BAC =∠ABC，∠CBD =∠CDB，而∠ACB+∠DCB =270°，則可根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理推出∠ABC+∠CBD =45°，進(jìn)一步即得△OBF是等腰直角三角形，于是可得OB=OF，進(jìn)而可得結(jié)論；

方法2：如圖2，連接AF交CD于點(diǎn)M，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AC=BC，AF=BF，進(jìn)一步即可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角的和差得出∠CAF=∠CBF，易得BC=DC，則有∠CBF=∠CDF，可得∠CAF=∠CDF，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠AFD=∠ACD=90°，即得△AFB是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可推出OF=OA，問題即得解決．

解：(1)∵∠AOC=90°，∴∠OAC+∠ACO =90°．

∵∠ACD=90°，∴∠DCF+∠ACO =90°，

∴∠DCF =∠OAC，

∵∠OAC=38°，∴∠DCF=38°；

(2)過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖1，則∠AOC =∠CHD=90°，

∵△ACD是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴AC=CD，

又∵∠OAC=∠DCF ，

∴△AOC≌△CHD(AAS)，

∴OC=DH=n，AO=CH=3，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（n+3，n）；

(3)不會(huì)變化．

方法一：∵點(diǎn)A(0，3)與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，∴AO=BO=3，AC=BC，∴∠BAC =∠ABC，

又∵AC=CD，∴BC=CD，∴∠CBD =∠CDB，

∵∠ACD=90°，∴∠ACB+∠DCB =270°，

∴∠BAC +∠ABC+∠CBD +∠CDB=90°，

∴∠ABC+∠CBD =45°，

∵∠BOF=90°，∴∠OFB=45°，

∴∠OBF =∠OFB=45°，

∴OB=OF=3，即OF的長(zhǎng)不會(huì)變化；

方法2：如圖2，連接AF交CD于點(diǎn)M，

∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，∴AC=BC，AF=BF，

∴∠OAC=∠OBC，∠OAF=∠OBF，∴∠OAF∠OAC=∠OBF∠OBC，即∠CAF=∠CBF，

∵AC=CD，AC=BC，∴BC=CD，

∴∠CBF=∠CDF，∴∠CAF=∠CDF，

又∵∠AMC=∠DMF，∴∠AFD=∠ACD=90°，

∴∠AFB=90°，

∴∠AFO=∠OFB=45°，∴∠AFO=∠OAF=45°，

∴OF=OA=3，即OF的長(zhǎng)不會(huì)變化．