Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，是線段的中點(diǎn)．將線段繞著點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段，連結(jié)、．

（1）判斷的形狀，并簡(jiǎn)要說明理由；

（2）當(dāng)時(shí),試問:以、、、為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的 的值？若不能，請(qǐng)說明理由；

（3）當(dāng)為何值時(shí)，與相似？

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析；（2）當(dāng)時(shí)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，理由見解析；（3）或

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PB=PC，∠PBC=90°，故△PBC是等腰直角三角形；

（２）以P、O、B、C為頂點(diǎn)的四邊形為平等四邊形：因?yàn)?/span>，所以OB∥PC，又點(diǎn)B是PA的中點(diǎn)，所以OB=BP=PC.故四邊形POBC是平等四邊形．此時(shí)有，即．即，從而可求t的值；

（3）由題意可知，， 分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，∽，此時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，∽，此時(shí)，；因此，當(dāng)或時(shí)，與相似

試題解析：（1）△PBC是等腰直角三角形.

∵線段PB繞著點(diǎn)P順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段PC

∴PB=PC，∠BPC=90°，

∴△PBC是等腰直角三角形.

（2）當(dāng)OB⊥BP時(shí)，以P、O、B、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

∵∠OBP=∠BPC=90°

∴OB∥PC，

∵B是PA的中點(diǎn)

∴

∴四邊形POBC是平行四邊形

當(dāng)OB⊥BP時(shí)，有即

∴

∴，（不合題意）

∴當(dāng)t=2時(shí)，以P、O、B、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

（3）由題意可知，，

當(dāng)時(shí)，∽，此時(shí)

∴

當(dāng)時(shí)，∽，此時(shí)

∴

∴當(dāng)或時(shí)，與相似

考點(diǎn): 1.等腰直角三角形的判定；2.平等四邊形的判定；3.相似三角形的判定與性質(zhì).