Question

（本題滿(mǎn)分12分）

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).

（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；

（2）若此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)交于點(diǎn)D，作⊙D與x軸相切，⊙D交軸于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，求劣弧EF的長(zhǎng)；

（3）P為此拋物線(xiàn)在第二象限圖像上的一點(diǎn)，PG垂直于軸，垂足為點(diǎn)G，試確定P點(diǎn)的位置，使得△PGA的面積被直線(xiàn)AC分為1︰2兩部分.

 

Answer 1

 

（1）

（2）劣弧EF的長(zhǎng)為：

（3）點(diǎn)P坐標(biāo)為或時(shí)，△PGA的面積被直線(xiàn)AC分成1︰2兩部分

解析:（本小題滿(mǎn)分12分）

解：（1）∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，．

∴， 解得.

∴拋物線(xiàn)的解析式為：.          …………………………3分

（2）易知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是.把x=4代入y=2x得y=8，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4,8）．

∵⊙D與x軸相切，∴⊙D的半徑為8．                   …………………………4分

連結(jié)DE、DF，作DM⊥y軸，垂足為點(diǎn)M．

在Rt△MFD中，F(xiàn)D=8，MD=4．∴cos∠MDF=．

∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°．                       …………………………6分

∴劣弧EF的長(zhǎng)為：．                   …………………………7分

（3）設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+b.  ∵直線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)點(diǎn).

∴，解得.∴直線(xiàn)AC的解析式為：.  ………8分

設(shè)點(diǎn)，PG交直線(xiàn)AC于N，

則點(diǎn)N坐標(biāo)為.∵.

∴①若PN︰GN=1︰2，則PG︰GN=3︰2，PG=GN.

即=.

解得：m1=－3， m2=2（舍去）.

當(dāng)m=－3時(shí)，=.

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.                        …………………………10分

②若PN︰GN=2︰1，則PG︰GN=3︰1， PG=3GN.

即=.

解得：，（舍去）.當(dāng)時(shí)，=.

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為或時(shí)，△PGA的面積被直線(xiàn)AC分成1︰2兩部分．                                              …………………12分