Question

【題目】（1）問題背景：如圖①，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，AB＝AC，P為上一動(dòng)點(diǎn)(不與B，C重合)，求證：PA＝PB+PC．請你根據(jù)圖中所給的軸助線，給出作法并完成證明過程．

（2）類比遷移：如圖②，⊙O的半徑為3，點(diǎn)A，B在⊙O上，C為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，AB＝AC，AB⊥AC，垂足為A，求OC的最小值

（3）拓展延伸：如圖③，⊙O的半徑為3，點(diǎn)A，B在⊙O上，C為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，AB＝ AC，AB⊥AC，垂足為A，則OC的最小值為____________．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）將△ACP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABQ的位置，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠QBA＝∠PCA，AP＝AQ，PC＝QB，根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可證點(diǎn)Q，點(diǎn)B，點(diǎn)P共線，根據(jù)勾股定理可證AP＝PQ＝PC＋PB；

（2）連接OA，將△OAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△EAB，連接OB，OE，則可得EB＝OC，AE＝OA＝3，∠EAB＝∠OAC，根據(jù)勾股定理可求OE＝3，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得BE≥OEOB＝33（當(dāng)點(diǎn)B在OE上時(shí)，取等號(hào)），即可求OC的最小值；

（3）如圖③構(gòu)造相似三角形即可解決問題，作AQ⊥OA，使得AQ＝OA，連接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ＝OC，當(dāng)BQ最小時(shí)，OC最小．

解：（1）將△ACP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABQ的位置，

∵BC是直徑，

∴∠BAC＝90°＝∠BPC，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC＝45°，

由旋轉(zhuǎn)可得∠QBA＝∠PCA，PA＝AQ，PC＝QB，

∵∠PCA＋∠PBA＝180°，

∴∠QBA＋∠PBA＝180°，

∴Q，B，P三點(diǎn)共線，

∴∠QAB＋∠BAP＝∠BAP＋∠PAC＝90°

∴QP2＝AP2＋AQ2＝2AP2，

∴QP＝AP＝QB＋BP＝PC＋PB，

∴AP＝PC＋PB；

（2）如圖②：連接OA，將△OAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△EAB，連接OB，OE，

∵AB⊥AC，

∴∠BAC＝90°，

由旋轉(zhuǎn)可得：EB＝OC，AE＝OA＝3，∠EAB＝∠OAC，

∴∠EAB＋∠BAO＝∠BAO＋∠OAC＝90°，

∴在Rt△OAE中，OE＝＝3，

∵BE≥OEOB＝33（當(dāng)點(diǎn)B在OE上時(shí)，取等號(hào)），

∴OC最小值是33；

（3）如圖③中，作AQ⊥OA，使得AQ＝OA，連接OQ，BQ，OB，

∵∠QAO＝∠BAC＝90°，∠QAB＝∠OAC，

∵，

∴△QAB∽△OAC，

∴BQ＝OC，

當(dāng)BQ最小時(shí)，OC最小，

易知OA＝3，AQ＝4，OQ＝5，BQ≥OQOB，

∴BQ≥2，

∴BQ的最小值為2，

∴OC的最小值為，

故答案為：．