Question

【題目】如圖，直線y=2x+2交y軸于A點(diǎn)，交x軸于C點(diǎn)，以O(shè)，A，C為頂點(diǎn)作矩形OABC，將矩形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形ODEF，直線AC交直線DF于G點(diǎn)．

（1）求直線DF的解析式；

（2）求證：GO平分∠CGD；

（3）在角平分線GO上找一點(diǎn)M，使以點(diǎn)G、M、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，求出M點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+1（2）見解析（3）M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣）和（，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)直線的解析式找出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，再由旋轉(zhuǎn)的特性找出點(diǎn)D、F的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)D、F的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線DF的解析式；

（2）過點(diǎn)O作OP⊥AC于點(diǎn)P，作OQ⊥DG于點(diǎn)Q，利用全等直角三角形的判定定理HL證出Rt△OAC≌Rt△ODF和Rt△OPG≌Rt△OQG，由此即可得出∠PGO=∠QGO，從而證出GO平分∠CGD；

（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AC⊥DF，結(jié)合（2）的結(jié)論即可得出∠OGD=45°，聯(lián)立直線AC、DF的解析式成方程組，解方程組可得出點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可分兩種情況尋找點(diǎn)M的位置，再通過勾股定理解方程等即可得出結(jié)論．

解：（1）∵直線y=2x+2交y軸于A點(diǎn)，交x軸于C點(diǎn)，

∴A點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，2），C點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，0），

∵將矩形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形ODEF，

∴F點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，1），D點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0），

設(shè)直線DF的解析式是y=kx+1，

∴2k+1=0，

解得k=﹣，

∴直線DF的解析式是：y=﹣x+1．

（2）過點(diǎn)O作OP⊥AC于點(diǎn)P，作OQ⊥DG于點(diǎn)Q，如圖1所示．

在Rt△OAC和Rt△ODF中，，

∴Rt△OAC≌Rt△ODF（HL），

又∵OP⊥AC，OQ⊥DG，

∴OP=OQ，

在Rt△OPG和Rt△OQG中，，

∴Rt△OPG≌Rt△OQG（HL），

∴∠PGO=∠QGO，

∴OG平分∠CGD．

（3）∵矩形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形ODEF，

∴對角線AC⊥DF，

∵GO平分∠CGD，

∴∠OGD=45°．

解得：，

即點(diǎn)G（﹣，），

∴直線GO為y=﹣3x．

∵D（2，0），

∴GD==，GO==．

以點(diǎn)G、M、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形分兩種情況：

①過D作DM1⊥GO于點(diǎn)M1，則△GM1D是以GD為斜邊的等腰直角三角形，過M1作M1H⊥OD于點(diǎn)H，如圖2所示．

∵GD=，

∴GM1=DM1=×=．

∵GO=，

∴OM1=GM1﹣GO=﹣=．

設(shè)點(diǎn)M1（x，﹣3x），在Rt△OM1H中有，

即x2+（﹣3x）2=，解得：x=或x=﹣（舍去）．

∴點(diǎn)M1（，﹣）；

②過D作DM2⊥GD交GO于M2，則△GM2D是以GD為直角邊的等腰直角三角形，過M2作M2I⊥OD于點(diǎn)I，如圖3所示．

∵GD=，

∴GM2=×=，

∵GO=，

∴OM2=GM2﹣GO=﹣=．

設(shè)M2（a，﹣3a），在Rt△OM2I中有，

即a2+（﹣3a）2=，解得：a=或a=﹣（舍去），

∴點(diǎn)M2（，﹣）．

綜上可得：使以點(diǎn)G、M、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形的M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣）和（，﹣）．