Question

在直角坐標(biāo)系xoy中，將面積為3的直角三角形AGO沿直線(xiàn)y=x翻折，得到三角形CHO，連接AC，已知反比例函數(shù)y=

k

x

(x＞0)的圖象過(guò)A、C兩點(diǎn)，如圖①．
（1）k的值是

 

；
（2）在直線(xiàn)y=x圖象上任取一點(diǎn)D，作AB⊥AD，AC⊥CB，線(xiàn)段OD交AC于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，P為直線(xiàn)OD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC、CE．
㈠如圖②，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，當(dāng)四邊形AECD為正方形時(shí)，求三角形PBC的面積；
㈡如圖③，若已知四邊形PEBC為菱形，求證四邊形PBCD是平行四邊形；
㈢若D、P兩點(diǎn)均在直線(xiàn)y=x上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)∠ADC=60°，且三角形PBC的周長(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出三角形PBC與四邊形ABCD的面積之比．

Answer 1

分析：（1）已知△AOG的面積為3，即A點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的乘積為6，由此可得k的值．
（2）①已知了A點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線(xiàn)的解析式可確定A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；若四邊形AECD是正方形，易證得四邊形EBCD是平行四邊形，即ED、BC間的距離相等，因此△PCB的面積是定值，且是正方形面積的一半，由此得解．
②易知△AGO、△CHO關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，那么OD垂直平分AC，由于∠AB⊥AD，則必有EC⊥CD，再根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，即可得到所求的結(jié)論．
③由于OD垂直平分AC，且D在直線(xiàn)OD上，若∠ADC=60°，那么△ACD是等邊三角形，在Rt△EAD中，AF⊥DE，且∠ADE=30°，易證得DF=3EF，即△DAC是△AEC面積的3倍；由于A、C關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，因此當(dāng)P、E重合時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，此時(shí)E是斜邊AB的中點(diǎn)，即AE=BE，由此可證得△BPC、△AEC的面積相等，即：△ACD也是△PBC面積的3倍，由此可求得四邊形ABCD和△PBC的面積比．

解答：（1）解：設(shè)A（a，b），（a＞0，b＞0）；
則AG=a，OG=b，由△AGO的面積是3，即ab=6；
∴k=ab=6．（1分）

（2）解：（一）∵雙曲線(xiàn)的解析式為：y=

6

x

(x ＞ 0)，A為雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為1，
可求得A點(diǎn)縱坐標(biāo)為6；
又∵四邊形AECD為正方形，點(diǎn)E在直線(xiàn)y=x上，
∴E（1，1），
∴AECD為正方形邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線(xiàn)AC長(zhǎng)為5

2

，AC⊥ED，AE∥CD；
又∵AB⊥AD，
∴ED∥BC，EB∥CD，
∴四邊形EBCD為平行四邊形，
∴ED=BC，
∵FC⊥BC，
∴S△PBC=

1

2

FC • BC=

1

4

AC • BC=

1

4

AC2，
∵正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC=5

2

，
∴S_△PBC=

25

2

=12.5．（4分）

（二）證明：∵四邊形PEBC為菱形，
∴EP∥BC；
∵△AGO與△CHO關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，
∴OD⊥平分AC；
又∵AB⊥AD，
∴EC⊥CD；
又∵EC⊥PB，
∴PB∥CD；
∴四邊形PBCD為平行四邊形．（6分）

（三）∵OD垂直平分AC，
∴AD=CD，AE=EC，且F是AC的中點(diǎn)；
在Rt△ABC中，F(xiàn)是AC中點(diǎn)，且EF⊥AC、BC⊥AC，
∴EF是△ABC的中位線(xiàn)，即E是AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE；
由于A、C關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，所以當(dāng)P、E重合時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小；
此時(shí)AP=BP，即S_△PBC=S_△AEC；
△ADC中，由于OD垂直平分AC，若∠ADC=60°，可得：
△ABC是等邊三角形，且∠ADE=30°；
在Rt△ADE中，AF⊥DE，∠ADE=30°，易得DF=3EF；
∴S_△ADC=3S_△AEC=3S_△PBC，
故：

S△PBC

S四邊形ABCD

=

1

5

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題是反比例函數(shù)的綜合題，涉及到反比例函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、平行四邊形及正方形的性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)以及軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．