Question

如圖①，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=5，cosA=

3

5

．一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OB方向勻速運(yùn)動(dòng)；另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BO方向勻速運(yùn)動(dòng)．兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)?shù)谝淮蜗嘤鰰r(shí)即停止運(yùn)動(dòng)．在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，以PQ為一邊作正方形PQMN，使正方形PQMN和△AOB在線段OB的同側(cè)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒）．

（1）求OA和OB的長(zhǎng)度；
（2）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，設(shè)正方形PQMN和△AOB重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及相應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）如圖②，現(xiàn)以△AOB的直角邊OB為x軸，頂點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系xOy．取OB的中點(diǎn)C，將過(guò)點(diǎn)A、C、B的拋物線記為拋物線T．
①求拋物線T的函數(shù)解析式；
②設(shè)拋物線T的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，設(shè)正方形PQMN的對(duì)角線PM、QN交于點(diǎn)E，連接DE、DN．是否存在這樣的t，使得△DEN是以EN、DE為兩腰或以EN、DN為兩腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出對(duì)應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOB中，已知斜邊長(zhǎng)和∠ABO的余弦值，通過(guò)解直角三角形可得出OA、OB的長(zhǎng)．
（2）由于正方形、△AOB的重疊部分的形狀會(huì)隨t的變化而變化，因此要先找出關(guān)鍵點(diǎn)：①點(diǎn)N在AB上，②點(diǎn)M在AB上；然后分三種情況討論：
①邊PN與AB有交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)正方形、△AOB的重疊部分是梯形，首先找出梯形兩底所在直角三角形，通過(guò)解直角三角形求出它們的長(zhǎng)，然后通過(guò)梯形面積公式解答；
②邊PN與AB無(wú)交點(diǎn)，但PN與AB有交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)重疊部分是五邊形，在求這一部分的面積時(shí)，可令正方形的面積減去右上角的小直角三角形的面積；
③當(dāng)正方形完全在△AOB內(nèi)部時(shí)，重疊部分的面積即正方形的面積．
（3）①在（1）中求得了OB的長(zhǎng)，則OC長(zhǎng)可得，在確定A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)的情況下，利用待定系數(shù)法即可確定該拋物線的解析式．
②該題的計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜，但思路比較簡(jiǎn)單，首先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后通過(guò)構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理求出△DEN的三邊長(zhǎng)，然后分①EN=DE、②EN=DN兩種情況求出t的值．

解答：解：（1）∵cosA=

3

5

，AB=5，
∴在Rt△AOB中，cosA=

OA

AB

=

OA

5

=

3

5

，
∴OA=3．
∴在Rt△AOB中，OB=

AB2-OA2

=4．
∴OA的長(zhǎng)度為3，OB的長(zhǎng)度為4．

（2）Rt△AOB中，AO=3，OB=4，tan∠ABO=

3

4

，cot∠ABO=

4

3

；
①當(dāng)0≤t＜

4

5

時(shí)，如右圖①，OP=QB=t，PQ=4-2t；
Rt△EQB中，EQ=QB•tan∠ABO=

3

4

t，同理可得：EP=3-

3

4

t；
∴S=

1

2

（EP+FQ）•PQ=

1

2

×3×（4-2t）=6-3t；
②當(dāng)

4

5

≤t＜

16

11

時(shí)，如右圖②；
QH=QB•tan∠ABO=

3

4

t，MQ=PQ=4-2t，MH=MQ-HQ=4-

11

4

t，MG=MH•cot∠MGH=MH•cot∠ABO=

16

3

-

11

3

t；
S=S_{正方形PQMN}-S_△GMH=（4-2t）²-

1

2

（4-

11

4

t）（

16

3

-

11

3

t）=-

25

24

t²-

4

3

t+

16

3

；
③當(dāng)

16

11

≤t＜2時(shí)，如右圖③；
S=S_{正方形PQMN}=（4-2t）²=4t²-16t+16；
綜上，可得：
當(dāng)0≤t＜

4

5

時(shí)，S=6-3t．
當(dāng)

4

5

≤t＜

16

11

時(shí)，S=-

25

24

t²-

4

3

t+

16

3

．
當(dāng)

16

11

≤t＜2時(shí)，S=4t²-16t+16．

（3）①∵點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，∴OC=BC=

1

2

OB=

1

2

×4=2．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）．
∵拋物線T經(jīng)過(guò)A（0，3）、B（2，0）、C（4，0）三點(diǎn)，
∴

42a+4b+c=0. 22+2b+c=0. c=3.

，
解得：

a= 3 8 . b=- 9 4 . c=3.

∴拋物線T的解析式為y=

3

8

x²-

9

4

x+3．
②存在．理由如下：
∵拋物線T的解析式為y=

3

8

x²-

9

4

x+3，即y=

3

8

（x-3）²-

3

8

．
∴拋物線T的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，-

3

8

）．
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，延長(zhǎng)NP交DF于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EK⊥PN于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)E作ES⊥DF于點(diǎn)S．
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，-

3

8

），
∴DF=OG=3，DG=-（-

3

8

）=

3

8

．
易知CS=PH=DG=

3

8

∵由題意知OP=BQ=t，
∴PQ=OB-OP-BQ=4-2t．
∵正方形PQMN已知，
∴PN=PQ=4-2t，∠PNQ=45°，EP=EN=EQ=

1

2

NQ．
∴在Rt△NPQ中，cos∠PNQ=cos45°=

2

2

=

PN

NQ

=

4-2t

NQ

，
∴NQ=4

2

-2

2

t．
∴EN=EQ=

1

2

NQ=

1

2

（4

2

-2

2

t）=2

2

-

2

t．
∴EN²=（2

2

-

2

t）²=2t²-8t+8．
易知FH=OP=t，
∴DH=DF-FH=3-t，NH=NP+PH=4-2t+

3

8

=

35

8

-2t．
∴在Rt△DHN中，DN²=DH²+NH²=（3-t）²+（

35

8

-2t）²=5t²-

47

2

t+

1801

64

．
∵EN=EP，EK⊥NP，
∴NK=PK=

1

2

NP=

1

2

（4-2t）=2-t．
∵點(diǎn)E是正方形PQMN的對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴ES是PQ的垂直平分線．
∴ES是OB的垂直平分線．
∵點(diǎn)C是OB的中點(diǎn)，
∴E、C、S三點(diǎn)共線．
∴易知CE=PK=2-t．
∴ES=CE+CS=2-t+

3

8

=

19

8

-t．
∵CG=OG-OC=3-2=1．
易知DS=CG=1．
∴在Rt△DES中，DE²=ES²+DS²=（

19

8

-t）²+1²=t²-

19

4

t+

425

64

．
（ⅰ）當(dāng)EN=DE時(shí)，EN²=DE²，
即2t²-8t+8=t²-

19

4

t+

425

64

．
解得t₁=

13- 82

8

，t₂=

13+ 82

8

．
由（2）知，0≤t＜2，而

13+ 82

8

＞2，故t₂=

13+ 82

8

舍去．
（ⅱ）當(dāng)EN=DN時(shí)，NE²=DN²，
即2t²-8t+8=5t²-

47

2

t+

1801

64

．整理，得3t²-

31

2

t+

1289

64

=0．
△=b²-4ac=（-

31

2

）²-4×3×

1289

64

=-

23

16

＜0，
故此一元二次方程無(wú)解．
故使得EN=DN的t值不存在．
綜上所述，共存在1個(gè)這樣的t值，使得△DEN是以EN、DE為兩腰的等腰三角形，即t=

13- 82

8

．

點(diǎn)評(píng)：該題是難度較大的圖形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，綜合了二次函數(shù)、正方形的性質(zhì)、解直角三角形、圖形的面積問(wèn)題等知識(shí)．（2）題中，一定要先抓住關(guān)鍵“點(diǎn)”，然后再進(jìn)行分段討論．