Question

操作：如圖①，△ABC是正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN．
探究：線(xiàn)段BM、MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明．
說(shuō)明：（1）如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒(méi)有找到解決問(wèn)題的方法，請(qǐng)你把探索過(guò)程中的某種思路寫(xiě)出來(lái)（要求至少寫(xiě)3步）；（2）在你經(jīng)歷說(shuō)明（1）的過(guò)程之后，可以從下列①、②中選取一個(gè)補(bǔ)充或更換已知條件，完成你的證明．
注意：選�、偻瓿勺C明得10分；選�、谕瓿勺C明得5分．
AN=NC（如圖②）；②DM∥AC（如圖③）．
附加題：若點(diǎn)M、N分別是射線(xiàn)AB、CA上的點(diǎn)，其它條件不變，再探線(xiàn)段BM、MN、NC之間的關(guān)系，在圖④中畫(huà)出圖形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)已知先證明Rt△BDM≌Rt△CDM₁從而得到BM=CM₁，然后再證明△MDN≌△M₁DN，從而推出MN=NM₁=NC-CM₁=NC-MB．
在證明時(shí)，需添加輔助線(xiàn)，采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法，借助三角形全等進(jìn)行證明．
解答：解：（1）BM+CN=MN
證明：如圖，延長(zhǎng)AC至M₁，使CM₁=BM，連接DM₁
由已知條件知：∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°．
∵BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM₁
∴∠MDB=∠M₁DC，DM=DM₁
∴∠MDM₁=（120°-∠MDB）+∠M₁DC=120°．
又∵∠MDN=60°，
∴∠M₁DN=∠MDN=60°．
∴△MDN≌△M₁DN．
∴MN=NM₁=NC+CM₁=NC+MB．

（2）附加題：CN-BM=MN
證明：如圖，在CN上截取CM₁，使CM₁=BM，連接MN，DM₁
∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠DBM=∠DCM₁=90°．
∵BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM₁
∴∠MDB=∠M₁DC，DM=DM₁
∵∠BDM+∠BDN=60°，
∴∠CDM₁+∠BDN=60°．
∴∠NDM₁=∠BDC-（∠M₁DC+∠BDN）=120°-60°=60°．
∴∠M₁DN=∠MDN．
∵ND=ND，
∴△MDN≌△M₁DN．
∴MN=NM₁=NC-CM₁=NC-MB．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等邊三角形，等腰三角形的性質(zhì)及三角形全等的判定等知識(shí)；正確作出輔助線(xiàn)是解答本題的關(guān)鍵．該題是一個(gè)純圖形探索證明題，注意培養(yǎng)自己的探索精神和鉆研精神．