Question

如圖，已知二次函數(shù)y=（x+m）²+k-m²的圖象與x軸相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），與y軸的交點(diǎn)為C．設(shè)△ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)P．
（1）求⊙P與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如果AB恰好為⊙P的直徑，且△ABC的面積等于

5

，求m和k的值．

Answer 1

分析：（1）令x=0，代入拋物線解析式，即求得點(diǎn)C的坐標(biāo)．由求根公式求得點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)，得到點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)的和與積，由相交弦定理求得OD的值，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)AB又恰好為⊙P的直徑，由垂徑定理知，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，故得到點(diǎn)C的坐標(biāo)及k的值．根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系式表示出AB線段的長(zhǎng)，由三角形的面積公式表示出△ABC的面積，可求得m的值．

解答：解：（1）易求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，k）
由題設(shè)可知x₁，x₂是方程（x+m）²+k-m²=0即x²+2mx+k=0的兩根，
所以x_1，2=

-2m± (-2m)2-4k

2

，
所x₁+x₂=-2m，x₁•x₂=k（1分）
如圖，∵⊙P與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由于AB、CD是⊙P的兩條相交弦，設(shè)它們的交點(diǎn)為點(diǎn)O，連接DB，
∴△AOC∽△DOB，則OD=

OA×OB

OC

=

|x1x2|

|k|

=

|k|

|k|

=1（2分）
由題意知點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，從而點(diǎn)D在y軸的正半軸上，
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）（3分）

（2）∵AB⊥CD，AB又恰好為⊙P的直徑，則C、D關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1），
即k=-1（4分）
又AB=|x₂-x₁|=

(x2+x1)2-4x1x2

=

(-2m)2-4k

=2

m2-k

=2

m2+1

，
所以S_△ABC=

1

2

AB×OC=

1

2

×2

m2+1

×1=

5

，
解得m=±2．（正值舍去）（6分）
∴k=-1，m=-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的求根公式，根與系數(shù)的關(guān)系，相交弦定理，垂徑定理，三角形的面積公式．如何表示OD及AB的長(zhǎng)是本題中解題的關(guān)鍵．