Question

把正方形ABCD繞著點(diǎn)A，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點(diǎn)H（如圖）．
（1）試問線段HG與線段HB相等嗎？請先觀察猜想，然后再證明你的猜想．
（2）若正方形的邊長為2cm，重疊部分（四邊形ABHG）的面積為cm²，求旋轉(zhuǎn)的角度．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正方形ABCD繞著點(diǎn)A，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AG=AB，∠G=∠B=90°，于是Rt△AGH≌Rt△ABH，得到HG=HB；
（2）由于Rt△AGH≌Rt△ABH，則S_{四邊形ABHG}=2S_△ABH=，得到S_△ABH=，利用三角形的面積公式可求出BH=，再錄三角函數(shù)可得到∠2=30°，得到∠GAE，最后通過互余求出旋轉(zhuǎn)角∠DAG．
解答：解：（1）線段HG與線段HB相等．理由如下：
連AH，如圖，
∵正方形ABCD繞著點(diǎn)A，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，
∴AG=AB，∠G=∠B=90°，
在Rt△AGH和Rt△ABH中，
∴Rt△AGH≌Rt△ABH，
∴HG=HB；

（2）由（1）得，S_{四邊形ABHG}=2S_△ABH=，
∴S_△ABH=，
∴•AB•BH=，
而AB=2，
∴BH=，
∴tan∠2==，
∴∠2=30°，
∴∠GAB=60°，
∴∠DAG=90°-60°=30°，
即旋轉(zhuǎn)的角度為30°．
點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值．