Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖1，將n個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，設(shè)拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）過(guò)矩形頂點(diǎn)B、C．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，如果a=﹣1，試求b的值；
（2）當(dāng)n=2時(shí)，如圖2，在矩形OABC上方作一邊長(zhǎng)為1的正方形EFMN，使EF在線段CB上，如果M，N兩點(diǎn)也在拋物線上，求出此時(shí)拋物線的解析式；
（3）將矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落到x軸的正半軸上，如果該拋物線同時(shí)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O． ①試求當(dāng)n=3時(shí)a的值；
②直接寫出a關(guān)于n的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線過(guò)矩形頂點(diǎn)B、C，其中C（0，1），B（n，1）

∴當(dāng)n=1時(shí)，拋物線對(duì)稱軸為直線x= ，

∴ ，

∵a=﹣1，

∴b=1，

答：b的值是1

（2）解：設(shè)所求拋物線解析式為y=ax2+bx+1，

由對(duì)稱性可知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，1）和點(diǎn)M（ ，2），

則 ，

解得

∴所求拋物線解析式為 ，

答：此時(shí)拋物線的解析式是

（3）解：①當(dāng)n=3時(shí)，OC=1，BC=3，

設(shè)所求拋物線解析式為y=ax2+bx，

過(guò)C作CD⊥OB于點(diǎn)D，

則Rt△OCD∽R(shí)t△OBC，

∴ ，

設(shè)OD=t，則CD=3t，

∵OD2+CD2=OC2，

∴（3t）2+t2=12，

∴ ，

∴C（ ， ），

又∵B（ ，0），

∴把B、C坐標(biāo)代入拋物線解析式，得 ，

解得：a=﹣ ，

a關(guān)于n的關(guān)系式是

【解析】（1）根據(jù)已知得到拋物線對(duì)稱軸為直線x= ，代入即可求出b；（2）設(shè)所求拋物線解析式為y=ax2+bx+1，由對(duì)稱性可知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，1）和點(diǎn)M（ ，2），把B、M的坐標(biāo)代入得到方程組 ，求出a、b的值即可得到拋物線解析式；（3）①當(dāng)n=3時(shí)，OC=1，BC=3，設(shè)所求拋物線解析式為y=ax2+bx，過(guò)C作CD⊥OB于點(diǎn)D，則Rt△OCD∽R(shí)t△OBC，得出 ，設(shè)OD=t，則CD=3t，根據(jù)勾股定理OD2+CD2=OC2 ， 求出t，得出C的坐標(biāo)，把B、C坐標(biāo)代入拋物線解析式即可得到方程組，求出a即可；②根據(jù)（1）、（2）①總結(jié)得到答案．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用解二元一次方程組和勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握二元一次方程組：①代入消元法；②加減消元法；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．