Question

如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的⊙O，與斜邊AC相交于點D，E是BC中點，連接DE．
（1）DE與⊙O相切嗎？若相切，請給出證明；若不相切，請說明理由；
（2）若AC、AB的長分別是一元二次方程x²-8x+15=0的兩個實根，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）連接BD，OD，首先證得BD⊥AC，然后根據(jù)角之間的等量關(guān)系得出∠DBE+∠OBD=90°，進而證明DE與⊙O相切；
（2）由AC、AB的長分別是一元二次方程的根，求出AC、AB，然后由勾股定理求出BC，進而求出ED．

解答：解：（1）DE與⊙O相切．
理由：連接BD，OD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵E為BC中點，
∴DE=BE=

1

2

BC，
∴∠EDB=∠DBE，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
△ABC為直角三角形，∠ABC=90°，
∴∠DBE+∠OBD=90°，
∴∠BDE+∠ODB=90°，
即∠ODE=90°，∴DE與⊙O相切．

（2）由題意知AC、AB的長分別是一元二次方程x²-8x+15=0，x₁=5，x₂=3，
在Rt△ABC中，
∵AC＞AB，
∴AC=5，AB=3，
由勾股定理，得BC=

AC2-AB2

=4，
又ED，EB為⊙O切線，E為BC中點，
∴ED=

1

2

BC=2．

點評：本題難度中等，主要是考查解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系．