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    已知關于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0①的兩實根的乘積等于1.
    (1)求證:關于x的方程(k-2)x2-2(k-m)x+(k+m)=0(k≤3)方程②有實數(shù)根;
    (2)當方程②的兩根的平方和等于兩根積的2倍時,它的兩個根恰為△ABC的兩邊長,若△ABC的三邊都是整數(shù),試判斷它的形狀.
    分析:(1)因為關于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有兩個兩實根,所以它是一元二次方程,根據(jù)一元二次方程的定義得出m≠0,又因為此二實根的乘積等于1,由根與系數(shù)的關系得出
    1
    m2
    =1,解這個分式方程,求出m的值,再代入方程①檢驗,確定m的值,然后把m的值代入方程②,證明方程②中的判別式△≥0即可;
    (2)設x1、x2是方程②的兩根,由已知條件兩根的平方和等于兩根積的2倍得出x12+x22=2x1x2①,由根與系數(shù)的關系得出x1+x2=
    2(k-1)
    k-2
    ②,x1•x2=
    k+1
    k-2
    ③.變形①式,可得x1=x2④,把④式分別代入②③,建立關于k的方程,求出k的值,再由三角形三邊關系定理及已知條件確定第三邊的長度,進而判斷三角形的形狀.
    解答:證明:(1)∵方程①兩實根乘積等于1,
    m≠0,
    1
    m2
    =1,m=±1
    ,
    經檢驗m=±1是方程的根.
    當m=1時,x2+5x+1=0,符合題意.
    m=-1時,x2+x+1=0,△=1-4<0.
    ∴m=-1舍去,
    ∴m=1.
    把m=1代入方程②,得(k-2)x2-2(k-1)x+(k+1)=0(k≤3).
    當k=2時,方程②為一元一次方程,-2x+3=0,x=
    3
    2
    ,有實根;
    當k≤3且k≠2時,方程②為一元二次方程,(k-2)x2-2(k-1)x+k+1=0,
    ∵△=[-2(k-1)]2-4(k-2)(k+1)=4(k-1)2-4(k-2)(k+1)=4(k2-2k+1)-4(k2-k-2)=-4k+12,
    又∵k≤3,
    ∴-4k≥-12,
    ∴-4k+12≥0,
    ∴方程②有實根.
    綜上,可知關于x的方程(k-2)x2-2(k-m)x+(k+m)=0(k≤3)有實數(shù)根;
    (2)設x1、x2是方程②的兩根,由題意,得
    x12+x22=2x1x2①,x1+x2=
    2(k-1)
    k-2
    ②,x1•x2=
    k+1
    k-2
    ③,
    由①得x12+x22-2x1x2=0,
    ∴(x1-x22=0,
    ∴x1=x2④.
    把④式代入②,得2x1=
    2(k-1)
    k-2
    ,∴x1=
    k-1
    k-2
    ,
    把④式代入③,得x12=
    k+1
    k-2
    ,
    (
    k-1
    k-2
    )2=
    k+1
    k-2
    ,k≠2,(k-1)2=(k+1)(k-2)
    ,
    ∴k=3.
    當k=3時,x1=x2=2.
    ∵△ABC三邊均為整數(shù),
    ∴設第三邊為n,則2-2<n<2+2,
    ∴0<n<4.
    ∵n是整數(shù),
    ∴n=1,2,3.
    當n=2時,△ABC為等邊三角形.
    當n=1或3時,△ABC為等腰三角形,其中n=1時,是等腰銳角三角形;n=3時,是等腰鈍角三角形.
    點評:本題主要考查了一元二次方程的定義,根與系數(shù)的關系,一元一次方程、分式方程的解法,三角形三邊關系定理及三角形的分類,綜合性較強,難度中等.
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    不能
    不能
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    x-m
    2
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    3
    x+1
    2
    =3x-2的解相同,則m=
    -
    3
    5
    -
    3
    5

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