Question

【題目】如圖，點(diǎn)A（1，4）、B（2，a）在函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，直線AB與x軸相交于點(diǎn)C，AD⊥x軸于點(diǎn)D．

（1）m=　　；

（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）在x軸上是否存在點(diǎn)E，使以A、B、E為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）C的坐標(biāo)為（3，0）；（3）（﹣2，0）．

【解析】試題分析：（1）把點(diǎn)代入求值.(2)先利用反比例函數(shù)求出A，B，點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求直線方程.(3)假設(shè)存在E點(diǎn)，因?yàn)?/span>ACD是直角三角形，假設(shè)ABE也是直角三角形，利用勾股定理分別計(jì)算A,B，C,是直角時(shí)AB長(zhǎng)度，均與已知矛盾，所以不存在.

試題解析：

解：（1）∵點(diǎn)A（1，4）在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，

∴m=1×4=4，

故答案為：4．

（2）∵點(diǎn)B（2，a）在反比例函數(shù)y=的圖象上，

∴a==2，

∴B（2，2）．

設(shè)過點(diǎn)A、B的直線的解析式為y=kx+b，

∴，解得：，

∴過點(diǎn)A、B的直線的解析式為y=﹣2x+6．

當(dāng)y=0時(shí)，有﹣2x+6=0，

解得：x=3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．

（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（n，0）．

①當(dāng)∠ABE=90°時(shí)（如圖1所示），

∵A（1，4），B（2，2），C（3，0），

∴B是AC的中點(diǎn)，

∴EB垂直平分AC，EA=EC=n+3．

由勾股定理得：AD2+DE2=AE2，即42+（x+1）2=（x+3）2，

解得：x=﹣2，

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，0）；

②當(dāng)∠BAE=90°時(shí)，∠ABE＞∠ACD，

故△EBA與△ACD不可能相似；

③當(dāng)∠AEB=90°時(shí)，∵A（1，4），B（2，2），

∴AB=，2＞，

∴以AB為直徑作圓與x軸無(wú)交點(diǎn)（如圖3），

∴不存在∠AEB=90°．

綜上可知：在x軸上存在點(diǎn)E，使以A、B、E為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，0）．