Question

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，cos∠ABC=

3

5

，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F是射線BC上的一動(dòng)點(diǎn)，連接BD、DF．
（1）如圖1，當(dāng)DF⊥BC時(shí)，求tan∠ABD；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在BC的延長線上時(shí)，連接EF，交DC邊于點(diǎn)G，設(shè)CF=m，試求線段DG（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）設(shè)M是邊DC上一點(diǎn)，且5DM=8AE，連接AM，與對(duì)角線BD相交于點(diǎn)N，若△BDF∽△ADN，請(qǐng)求線段CF．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)等底對(duì)等角，平行線的性質(zhì)及三角函數(shù)的知識(shí)即可求出tan∠ABD；
（2）過點(diǎn)E做EN⊥BC，過點(diǎn)G做GM⊥BC，過點(diǎn)A做AP⊥BC，過點(diǎn)D做DQ⊥BC，根據(jù)平行線的判定和相似三角形的性質(zhì)即可求出線段DG；
（3）過點(diǎn)A做AH⊥BC于點(diǎn)H，以HC為x軸，HA為y軸建立直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)M做MP⊥BC于點(diǎn)P，過點(diǎn)D做DQ⊥BC于點(diǎn)Q，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積公式即可求解．

解答：解：（1）∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，
tan∠ABD=tan（

1

2

∠ABC）=

1-cos∠ABC 1+cos∠ABC

=

1

2

；

（2）過點(diǎn)E做EN⊥BC，過點(diǎn)G做GM⊥BC，過點(diǎn)A做AP⊥BC，過點(diǎn)D做DQ⊥BC
所以EN∥GM∥AP∥QD
所以GM：EN=FM：FN，
其中EN=

1

2

AP=

1

2

DQ，
則2GM：DQ=FM：FN
GM：DQ=CG：CD=CM：CQ
則2CM：CQ=FM：FN=（FC+CM）：（BF-BN）=（m+CM）：（11+m-

3

2

）=2CM：CQ=2CM：3
解得CM=

3m

16+2m

，
CG：CD=CM：CQ  
則（CD-DG）：CD=CM：CQ
即（5-DG）：5=

3m

16+2m

：3，
解得DG=

5(16+m)

16+2m

；

（3）過點(diǎn)A做AH⊥BC于點(diǎn)H，以HC為x軸，HA為y軸建立直角坐標(biāo)系過點(diǎn)M做MP⊥BC于點(diǎn)P，過點(diǎn)D做DQ⊥BC于點(diǎn)Q
則CP：CQ=MP：DQ=CM：CD
5DM=8AE=8×5÷2=20，DM=4，
則CP：CQ=MP：DQ=（5-4）：5  
則CP=

3

5

，MP=

4

5

，
則點(diǎn)A為（0，4），點(diǎn)M為（

37

5

，

4

5

），點(diǎn)B為（-3，0），點(diǎn)D為（5，4）
直線AM為y=-

16

37

x+4，直線BD為y=

1

2

x+

3

2

，
兩直線相交于點(diǎn)N，點(diǎn)N為（

185

69

，

196

69

）
△AND中，底邊AD=5，h=4-

196

69

=

80

69

，
S=0.5×5×

80

69

=

200

69

=S_△BDF=0.5×4BF
BF=

100

69

，
CF=BC-BF=3+5+3-

100

69

=

659

69

．

點(diǎn)評(píng)：考查了相似形綜合題，本題涉及的知識(shí)點(diǎn)有等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)和三角形的面積，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．