Question

四邊形OABC是等腰梯形，OA∥BC．在建立如圖的平面直角坐標系中，A（4，0），B（3，2），點M從O點以每秒2個單位的速度向終點A運動；同時點N從B點出發(fā)以每秒1個單位的速度向終點C運動，過點N作NP垂直于x軸于P點連接AC交NP于Q，連接MQ．
（1）寫出C點的坐標；
（2）若動點N運動t秒，求Q點的坐標；（用含t的式子表示）
（3）其△AMQ的面積S與時間t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（4）當t取何值時，△AMQ的面積最大；
（5）當t為何值時，△AMQ為等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）由于等腰梯形是軸對稱圖形，根據(jù)O、A坐標可求出等腰梯形對稱軸的解析式，進而可根據(jù)B點坐標和對稱軸的解析式求出C點坐標．
（2）求Q點坐標，即求QP和OP的長，Q點橫坐標即為B點橫坐標減去NB的長，據(jù)此可求出Q點橫坐標，Q點縱坐標可通過構(gòu)建相似三角形來求解，過C作CE⊥OA于E，可根據(jù)QP∥CE得出的關于AP、AE、PQ、CE的比例關系式求出Q點縱坐．由此可得出Q點坐標．
（3）在②中已經(jīng)求得了QP的長，AM的長易得出，據(jù)此可用三角形面積公式求出S，t的函數(shù)關系式．
（4）根據(jù)（3）得出的函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍即可求出S的最大值及對應的t的值．
（5）本題要分三種情況討論：
①Q(mào)M=QA，根據(jù)等腰三角形三線合一的特點，可得出MP=PA=

1

2

AM，可根據(jù)MP和AP的不同表達式求出t的值．
②AM=QA，可直接用表示AM的式子表示AQ，然后在直角三角形PAQ中，用勾股定理求出t的值；③QM=MA，同②．

解答：解：（1）C（1，2）．

（2）過C作CE⊥x軸于E，則CE=2
當動點N運動t秒時，NB=t
∴點Q的橫坐標為3-t
設Q點的縱坐標為y_Q
由PQ∥CE得

yQ

2

=

1+t

3

∴y_Q=

2+2t

3

∴點Q（3-t，

2+2t

3

）；

（3）點M以每秒2個單位運動，
∴OM=2t，AM=4-2t，
S_△AMQ=

1

2

AM•PQ=

1

2

•（4-2t）•

2+2t

3

=

2

3

（2-t）（t+1）
=-

2

3

（t²-t-2）
當t=2時，M運動到A點，△AMQ不存在，
∴t≠2，
∴t的取值范圍是0≤t＜2；

（4）由S_△AMQ=-

2

3

（t²-t-2）=-

2

3

（t-

1

2

）²+

3

2

．
當t=

1

2

時，S_max=

3

2

；

（5）①若QM=QA
∵QP⊥OA，
∴MP=AP，
而MP=4-（1+t+2t）=3-3t，
即1+t=3-3t，
t=

1

2

，
∴當t=

1

2

時，△QMA為等腰三角形；
②若AQ=AM
AQ²=AP²+PQ²=（1+t）²+（

2+2t

3

）²=

13

9

（1+t）²AQ=

13

3

，
AM=4-2t

13

3

（1+t）=4-2t，
t=

85-18 13

23

而0＜

85-18 13

23

＜2，
∴當t=

85-18 13

23

時，△QMA為等腰三角形；
③若MQ=MA
MQ²=MP²+PQ²
=（3-3t）²+（

2+2t

3

）²=

85

9

t²-

154

9

t+

85

9

∴

85

9

t²-

154

9

t+

85

9

=（4-2t）²

49

9

t²-

10

9

t-

59

9

=0
解得t=

59

49

或t=-1（舍去）
∵0＜

59

49

＜2，
∴當t=

59

49

時，△QMA為等腰三角形；
綜上所述：當t=

1

2

，t=

85-18 13

23

或t=

59

49

△QMA都為等腰三角形．

點評：本題是點的運動性問題，考查了等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識點，綜合性較強，考查學生分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．