Question

【題目】如圖，在梯形中，，，，．P為線(xiàn)段上的一動(dòng)點(diǎn)，且和B、C不重合，連接，過(guò)點(diǎn)P作交射線(xiàn)于點(diǎn)E．

聰聰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了研究：

（1）通過(guò)推理，他發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)你幫他完成證明．

（2）利用幾何畫(huà)板，他改變的長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，得到不同位置時(shí)，、的長(zhǎng)度的對(duì)應(yīng)值：

當(dāng)時(shí)，得表1：

	…	1	2	3	4	5	…
	…	0.83	1.33	1.50	1.33	0.83	…

當(dāng)時(shí)，得表2：

	…	1	2	3	4	5	6	7	…
	…	1.17	2.00	2.50	2.67	2.50	2.00	1.17	…

這說(shuō)明，點(diǎn)P在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，要保證點(diǎn)E總在線(xiàn)段上，的長(zhǎng)度應(yīng)有一定的限制．

①填空：根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在和的長(zhǎng)度這兩個(gè)變量中，_____的長(zhǎng)度為自變量，_____的長(zhǎng)度為因變量；

②設(shè)，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E總在線(xiàn)段上，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①BP，CE；②0＜m≤

【解析】

（1）由同角的余角相等可得∠APB＝∠CEP，又因?yàn)椤?/span>B＝∠C＝90°，即可證得相似；

（2）①由題意可得隨著P點(diǎn)的變化，CE的長(zhǎng)度在變化，即可判斷自變量和因變量；

②設(shè)BP的長(zhǎng)度為xcm，CE的長(zhǎng)度為ycm，由△ABP∽△PCE，利用對(duì)應(yīng)邊成比例求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)性質(zhì)，求出其最大值，列不等式確定m的取值范圍；

解：（1）證明：∵，

∴∠APE＝90°，

∵∠APB＋∠CPE＝90°，∠CEP＋∠CPE＝90°，

∴∠APB＝∠CEP，

又∵∠B＝∠C＝90°，

∴△ABP∽△PCE；

（2）①由題意可得隨著P點(diǎn)的變化，CE的長(zhǎng)度在變化，所以BP的長(zhǎng)度為自變量，CE的長(zhǎng)度為因變量；

故答案為：BP，CE；

②設(shè)BP的長(zhǎng)度為xcm，CE的長(zhǎng)度為ycm，

∵△ABP∽△PCE，

∴，即，

∴y＝

＝，

∴當(dāng)x＝時(shí)，y取得最大值，最大值為，

∵點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E總在線(xiàn)段CD上，

∴≤2，

解得m≤，

∴m的取值范圍為：0＜m≤．