Question

【題目】如圖，拋物線交x軸于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，AC，BC．M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)P作，垂足為點(diǎn)N．設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段PN的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？

（3）試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），當(dāng)時(shí)，PN有最大值，最大值為． （3）滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為：，．

【解析】

（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入解析式中求解即可；

（2）由(1)求得點(diǎn)C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，然后用m表示出PN，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

（3）分三種情況：①AC=CQ；②AC=AQ；③CQ=AQ，分別求解即可．

解：（1）將，代入，得，解之，得．

所以，拋物線的表達(dá)式為．

（2）由，得．

將點(diǎn)、代入，得，解之，得．

所以，直線BC的表達(dá)式為：．

由，得，．

∴

∵，∴．

∴．

∴．

．

∵

∴當(dāng)時(shí)，PN有最大值，最大值為．

（3）存在，理由如下：由點(diǎn)，，知．

①當(dāng)時(shí)，過Q作軸于點(diǎn)E，易得，

由，得，（舍）

此時(shí)，點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，則．

在中，由勾股定理，得．

解之，得或（舍）

此時(shí)，點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，

由，得（舍）．

綜上知所述，可知滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為：，．