Question

已知拋物線y=x²+4x+m（m為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，4）。
（1）求m的值；
（2）將該拋物線先向右、再向下平移得到另一條拋物線，已知平移后的拋物線滿足下述兩個(gè)條件：它的對(duì)稱軸（設(shè)為直線l₂）與平移前的拋物線的對(duì)稱軸（設(shè)為直線l₁）關(guān)于y軸對(duì)稱；它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最小值為-8；
① 試求平移后的拋物線的解析式；
②試問(wèn)在平移后的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以3為半徑的圓P既與x軸相切，又與直線l₂相交？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出直線l₂被圓P所截得的弦AB的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）代入（0，4）得m=4；
（2）①平移前對(duì)稱軸l₁為x=-2，平移后對(duì)稱軸l₂為x=2，最小值為-8，故拋物線方程為y=（x-2）²-8；
②設(shè)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則y₀=-3，x₀=2±或y₀=3，x₀=2±，
又P到x=2的距離小于3，故x₀=2±舍去，綜上，存在這樣的點(diǎn)P，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，2±）。