Question

已知拋物線C₁：y=-x²+2mx+n（m，n為常數，且m≠0，n＞0）的頂點為A，與y軸交于點C；拋物線C₂與拋物線C₁關于y軸對稱，其頂點為B，連接AC，BC，AB。
注：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為。

（1）請在橫線上直接寫出拋物線C₂的解析式：______；
（2）當m=1時，判定△ABC的形狀，并說明理由；
（3）拋物線C₁上是否存在點P，使得四邊形ABCP為菱形？如果存在，請求出m的值；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）；
（2）當時，為等腰直角三角形 理由如下：如圖： ∵點A與點B關于y軸對稱，點C又在y軸上， ∴AC=BC 過點A作拋物線C1的對稱軸交x軸于D，過點C作CE⊥AD于E ∴當m=1時，頂點A的坐標為A（1，1+n）， ∴CE=1 又∵點C的坐標為（0，n）， ∴AE=1+n-n=1 ∴AE=CE 從而∠ECA=45°， ∴∠ACy=45° 由對稱性知∠BCy=∠ACy=45°， ∴∠ACB=90° ∴△ABC為等腰直角三角形。
（3）假設拋物線C1上存在點P，使得四邊形ABCP為菱形，則PC=AB=BC 由（2）知，AC=BC， ∴AB=BC=AC 從而△ABC為等邊三角形 ∴∠ACy=∠BCy=30° ∵四邊形ABCP為菱形，且點P在C1上， ∴點P與點C關于AD對稱 ∴PC與AD的交點也為點E， 因此∠ACE=90°-30°=60° ∵點A，C的坐標分別為A（m，m2+n），C（0，n）， ∴AE=m2+n-n=m2，CE=|m| 在Rt△ACE中， ∴ ∴ 故拋物線C1上存在點P，使得四邊形ABCP為菱形，此時。