Question

（2013•南通一模）某花木公司在20天內(nèi)銷售一批馬蹄蓮．其中，該公司的鮮花批發(fā)部日銷售量y₁（萬朵）與時間x（x為整數(shù)，單位：天）部分對應(yīng)值如下表所示．

時間x（天）	0	4	8	12	16	20
銷量y1（萬朵）	0	16	24	24	16	0

另一部分鮮花在淘寶網(wǎng)銷售，網(wǎng)上銷售日銷售量y₂（萬朵）與時間x（x為整數(shù)，單位：天） 關(guān)系如圖所示．
（1）請你從所學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)中確定哪種函數(shù)能表示y₁與x的變化規(guī)律，寫出y₁與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；
（2）觀察馬蹄蓮網(wǎng)上銷售量y₂與時間x的變化規(guī)律，請你設(shè)想商家采用了何種銷售策略使得銷售量發(fā)生了變化，并寫出銷售量y₂與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；
（3）設(shè)該花木公司日銷售總量為y萬朵，寫出y與時間x的函數(shù)關(guān)系式，并判斷第幾天日銷售總量y最大，并求出此時最大值．

Answer 1

分析：（1）先判斷出y₁與x之間是二次函數(shù)關(guān)系，然后設(shè)y₁=ax²+bx+c（a≠0），然后取三組數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）銷售量增加，從降價促銷上考慮，然后分兩段利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（3）分①0≤x≤8時，②8＜x≤20時兩種情況，根據(jù)總銷售量y=y₁+y₂，整理后再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

解答：解：（1）由圖表數(shù)據(jù)觀察可知y₁與x之間是二次函數(shù)關(guān)系，
設(shè)y₁=ax²+bx+c（a≠0），
則

c=0 16a+4b+c=16 64a+8b+c=24

，
解得

a=- 1 4 b=5 c=0

，
故y₁與x函數(shù)關(guān)系式為y₁=-

1

4

x²+5x（0≤x≤20）；

（2）銷售8天后，該花木公司采用了降價促銷（或廣告宣傳）的方法吸引了淘寶買家的注意力，日銷量逐漸增加；
當(dāng)0≤x≤8，設(shè)y=kx，
∵函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（8，4），
∴8k=4，
解得k=

1

2

，
所以，y=

1

2

x，
當(dāng)8＜x≤20時，設(shè)y=mx+n，
∵函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（8，4）、（20，16），
∴

8m+n=4 20m+n=16

，
解得

m=1 n=-4

，
所以，y=x-4，
綜上，y₂=

1 2 x(0≤x≤8) x-4(8＜x≤20)

；

（3）當(dāng)0≤x≤8時，
y=y₁+y₂
=

1

2

x-

1

4

x²+5x
=-

1

4

（x²-22x+121）+

121

4

=-

1

4

（x-11）²+

121

4

，
∵拋物線開口向下，x的取值范圍在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=8時，y有最大值，y_最大=-

1

4

（8-11）²+

121

4

=28；
當(dāng)8＜x≤20時，y=y₁+y₂=x-4-

1

4

x²+5x，
=-

1

4

（x²-24x+144）+32，
=-

1

4

（x-12）²+32，
∵拋物線開口向下，頂點(diǎn)在x的取值范圍內(nèi)，
∴當(dāng)x=12時，y有最大值為32，
∴該花木公司銷售第12天，日銷售總量最大，最大值為32萬朵．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．最大銷售量的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x=-

b

2a

時取得．