Question

如圖，ABCD是一張矩形紙片，AB=20cm，BC=16cm，在AD邊上取一點(diǎn)H，將紙片沿BH翻折，使點(diǎn)A恰好落在DC邊上的點(diǎn)E處，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD交HB于點(diǎn)F．
（1）求EF的長(zhǎng)．
（2）若點(diǎn)M自點(diǎn)H沿HE方向以1cm/s的速度向E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不與H，E重合），過(guò)點(diǎn)M作MN∥EF交HB于點(diǎn)N，如圖2，將△HMN沿MN對(duì)折，點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H₁，若△H₁MN與四邊形MNFE重疊部分的面積為S，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，問(wèn)當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少．
（3）當(dāng)（2）問(wèn)，點(diǎn)M自點(diǎn)H沿HE方向以1cm/s的速度向E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)E出發(fā)，以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)F點(diǎn)時(shí)M，Q停止運(yùn)動(dòng)，連接MF，是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)Q在線段MF的垂直平分線上？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)、勾股定理在直角△BCE中求得EC=12cm，由相似三角形的判定推知△ECB∽△HDE，所以根據(jù)“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”求得EH=AH=10cm．然后利用∠ABH的正切函數(shù)的定義求得FG=6cm，則易求線段EF的長(zhǎng)度；
（2）根據(jù)三角形的面積公式求得S與t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式來(lái)求最值；
（3）過(guò)Q作QG⊥HE交HE于G，HK⊥EF，構(gòu)建相似三角形：△QGE∽△HKE．所以由“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”的性質(zhì)列出關(guān)于t的一元二次方程，通過(guò)解方程來(lái)求t的值．

解答：解：（1）折疊的性質(zhì)知，∠A=∠HEB=90°，AH=EH，AB=EB．
∵在Rt△ECB中，EB=20cm，BC=16cm，
∴根據(jù)勾股定理知EC=

EB2-BC2

=

202-162

=12（cm），
∵∠EBC=∠DEH（同角的余角相等），∠C=∠D=90°，
∴△ECB∽△HDE，
∴

BC

EB

=

DE

EH

，
∴

BC

AB

=

DC-EC

EH

，即

16

20

=

8

EH

，
解得EH=AH=10cm．
 如圖1，延長(zhǎng)直線EF至AB交點(diǎn)為G．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴EC∥GB，∠C=90°，
∴四邊形ECBG為矩形，
∴EC=BG=12cm，EG=BC=16cm．
∵

AH

AB

=

FG

BG

，即

10

20

=

FG

12

，
∴FG=6cm，
則EF=EG-FG=16-6=10（cm）；

（2）根據(jù)對(duì)折的性質(zhì)知，△HMN≌△H₁MN，則S_△HMN=S_△H1MN．
由（1）知，DE=8cm，EH=EF=10cm．
∵AD⊥DE，EF∥AD，
∴DE⊥EF，
∴S_△HEF=

1

2

EF•DE=

1

2

×10×8=40（cm²）．
∵M(jìn)N∥EF，
∴△HMN∽△HEF，
∴

S△HMN

S△HEF

=(

HM

HE

)2，即

S△HMN

40

=(

t

10

)2，
∴S_△HMN=

2

5

t²．（0＜t＜10）．
①如圖2所示，當(dāng)0＜t≤5時(shí)，S=S_△HMN=

2

5

t²．則
當(dāng)t=5時(shí)，S_最大=

2

5

×25=10（cm²）．
②當(dāng)5＜t＜10時(shí)，如圖3所示，連接HH₁，則HH₁⊥MN，HH₁⊥EF．
根據(jù)對(duì)折的性質(zhì)知，HK=H₁K．
∵△HMN∽△HEF，
∴

HK

HJ

=

HM

HE

，即

HK

HJ

=

t

10

，
∴

HK

KJ

=

t

10-t

，
∴

H1K

H1J

=

t

2t-10

，
∵M(jìn)N∥EF，即MN∥GI，
∴△H₁GI∽△H₁MN，
∴

S△HMN

S△H1GI

=

S△H1MN

S△H1GI

=（

H1K

H1J

）²=（

t

2t-10

）²，
∴S_△H1GI=

8

5

（t-5）²．
∴S=S_△HMN-S_△H1GI=-

6

5

t²+16t-40=-

6

5

（t-

20

3

）²+

40

3

，
∴當(dāng)t=

20

3

時(shí)，S_最大=

40

3

．
綜上所述，當(dāng)t=

20

3

時(shí)，S_最大=

40

3

（cm²）；

（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)Q在線段MF的垂直平分線上，則MQ=QF．
如圖4，過(guò)Q作QG⊥HE，交HE于G，HK⊥EF，則△QGE∽△HKE，
∴

QG

HK

=

EG

EH

=

EQ

HE

．
∵HK=8cm，EK=6cm，
∴

QG

8

=

EG

6

=

2t

10

，
∴QG=

8

5

t，EG=

6

5

t，MG=10-t-

6

5

t=10-

11

5

t．
在Rt△MQG中，MQ²=（

8

5

t）²+（10-

11

5

t）²=

37

5

t²-44t+100∵FQ=10-2t，
∴

37

5

t²-44t+100=100-40t+4t²，解得：t₁=

20

17

，t₂=0（舍去）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似綜合題．注意題中輔助線的作法．另外，解答（2）時(shí)，要分類討論，以防漏解．