Question

如圖1所示，在正方形ABCD中，AB=1，

AC

是以點(diǎn)B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧，點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），過E作AC所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn)F，G為切點(diǎn)．
（1）當(dāng)∠DEF=45°時(shí)，求證：點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)；
（2）設(shè)AE=x，F(xiàn)C=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）圖2所示，將△DEF沿直線EF翻折后得△D₁EF，當(dāng)EF=

5

6

時(shí)，討論△AD₁D與△ED₁F是否相似，如果相似，請加以證明；如果不相似，只要求寫出結(jié)論，不要求寫出理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一進(jìn)行證明，能夠熟練運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)和切線長定理發(fā)現(xiàn)G為線段EF的中點(diǎn)；
（2）根據(jù)切線長定理、正方形的性質(zhì)得到有關(guān)的線段用x，y表示，再根據(jù)勾股定理建立函數(shù)關(guān)系式．
（3）結(jié)合（2）中的函數(shù)關(guān)系式，求得x的值．分兩種情況分別分析，根據(jù)切線長定理找到角之間的關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到兩個(gè)角對應(yīng)相等，從而證明三角形相似．

解答：（1）證明：∵∠DEF=45°，
∴∠DFE=90°-∠DEF=45°．
∴∠DFE=∠DEF．
∴DE=DF．
又∵AD=DC，
∴AE=FC．
∵AB是圓B的半徑，AD⊥AB，
∴AD切圓B于點(diǎn)A．
同理：CD切圓B于點(diǎn)C．
又∵EF切圓B于點(diǎn)G，
∴AE=EG，F(xiàn)C=FG．
∴EG=FG，即G為線段EF的中點(diǎn)．

（2）解：根據(jù)（1）中的線段之間的關(guān)系，得EF=x+y，DE=1-x，DF=1-y，
根據(jù)勾股定理，得：
（x+y）²=（1-x）²+（1-y）²
∴y=

1-x

1+x

（0＜x＜1）．

（3）解：當(dāng)EF=

5

6

時(shí)，由（2）得EF=EG+FG=AE+FC，
即x+

1-x

1+x

=

5

6

，
解得x₁=

1

3

，x₂=

1

2

．
經(jīng)檢驗(yàn)x₁=

1

3

，x₂=

1

2

是原方程的解．
①當(dāng)AE=

1

2

時(shí)，△AD₁D∽△ED₁F，
證明：設(shè)直線EF交線段DD₁于點(diǎn)H，由題意，得：
△EDF≌△ED₁F，EF⊥DD₁且DH=D₁H．
∵AE=

1

2

，AD=1，
∴AE=ED．
∴EH∥AD₁，∠AD₁D=∠EHD=90°．
又∵∠ED₁F=∠EDF=90°，
∴∠FD₁D=∠AD₁D．
∴D₁F∥AD，
∴∠ADD₁=∠DD₁F=∠EFD=45°，
∴△ED₁F∽△AD₁D．
②當(dāng)AE=

1

3

時(shí)，△ED₁F與△AD₁D不相似．

點(diǎn)評：此題綜合運(yùn)用了切線長定理、相似三角形的判定和性質(zhì)；能夠發(fā)現(xiàn)正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)進(jìn)行分析證明．