Question

如圖，△ABC中，∠B=∠C=30°，AD⊥BC，點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)的直線MN分別交線段AB和AC于點(diǎn)M，N，若AM：MB=3：5，則AN：NC的值是

3：1

．

Answer 1

分析：過(guò)點(diǎn)O作OE∥AC交AB于E，作OF∥AB交AC于F，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC=120°，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出∠BAD=∠CAD=60°，然后得到△AOE和△AOF都是等邊三角形，根據(jù)比例設(shè)AM、MB分別為3k、5k，然后求出AC=AB=8k，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AD=4k，再根據(jù)點(diǎn)D是AD的中點(diǎn)求出AO=2k，然后求出ME，再利用平行線分線段成比例定理列式求出AN的長(zhǎng)，然后求出NC，最后求解即可．

解答：解：如圖，∵∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°-30°×2=120°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC=

1

2

×120°=60°（等腰三角形三線合一），
過(guò)點(diǎn)O作OE∥AC交AB于E，作OF∥AB交AC于F，
則∠AOE=∠CAD=60°，∠AOF=∠BAD=60°，
∴△AOE和△AOF都是等邊三角形，
∴AE=AE=AO，
∵AM：MB=3：5，
∴AM=3k，MB=5k，
∴AC=AB=3k+5k=8k，
∵∠B=30°，AD⊥BC，
∴AD=

1

2

AB=

1

2

×8k=4k，
∵點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)，
∴AO=

1

2

AD=

1

2

×4k=2k，
∴ME=AM-AE=3k-2k=k，
∴

OE

AN

=

ME

AM

，
即

2k

AN

=

k

3k

，
解得AN=6k，
∴NC=AC-AN=8k-6k=2k，
∴AN：NC=6k：2k=3：1．
故答案為：3：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線分線段成比例定理：若兩條直線被一組平行線被截，那么所截得的線段對(duì)應(yīng)成比例，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出等邊三角形是解題的關(guān)鍵．