Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)、均在線(xiàn)段上，且，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．在中，若軸，軸，則稱(chēng)為點(diǎn)、的“榕樹(shù)三角形”．

（1）若點(diǎn)坐標(biāo)為，且，則點(diǎn)、的“榕樹(shù)三角形”的面積為 ．

（2）當(dāng)點(diǎn)、的“榕樹(shù)三角形”是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）在（2）的條件下，作過(guò)、、三點(diǎn)的拋物線(xiàn)．

①若點(diǎn)必為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，求點(diǎn)、的“榕樹(shù)三角形”面積與之間的函數(shù)關(guān)系式．

②當(dāng)點(diǎn)、的“榕樹(shù)三角形”面積2，且拋物線(xiàn)與點(diǎn)、的“榕樹(shù)三角形”恰有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（3）①；②m=-2或-4≤m≤-3

【解析】

(1)待定系數(shù)法求直線(xiàn)AB解析式，根據(jù)“榕樹(shù)三角形”新定義和三角形面積即可求出結(jié)論；

(2)依據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(3)①先利用待定系數(shù)法求得線(xiàn)段AB的表達(dá)式，再根據(jù)“榕樹(shù)三角形”新定義求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用三角形面積即可求得S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

②拋物線(xiàn)與點(diǎn)、的“榕樹(shù)三角形”恰有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可分兩種情況：點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)或點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)（包括對(duì)稱(chēng)軸上），分別進(jìn)行討論即可．

解：(1)設(shè)直線(xiàn)AB解析式為：y=kx+b，則

，解得

∴直線(xiàn)AB解析式為：，

當(dāng)x=-1時(shí)，，

∴P(-1,)，

∵PM∥x軸，BM∥y軸，

∴M(-4, )，

∴PM=3,BM=，

∴．

(2)根據(jù)題意得，，，

，

，

，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

(3)①首先，確定自變量取值范圍為，

由（2）易得，線(xiàn)段的表達(dá)式為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由于拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，

拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，

，

故，

②∵點(diǎn)P、Q的“榕樹(shù)三角形”面積為2，

∴，

∴PM=2，

∴M(m-2，-m-6)，

∵拋物線(xiàn)與點(diǎn)、的“榕樹(shù)三角形”恰有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴可分兩種情況：點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)或點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)（包括對(duì)稱(chēng)軸上），

若點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)，m>-3，此時(shí)兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x=-3對(duì)稱(chēng)，

∴，

解得：m=-2或m=-4，

∵m>-3，

∴m=-2，

若點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)（包括對(duì)稱(chēng)軸上），即m≤-3，

此時(shí)兩個(gè)交點(diǎn)分別在PM、QM邊上，

∴m-2≥-6，即m≥-4，

∴-4≤m≤-3，

綜上所述，m的取值范圍為m=-2或-4≤m≤-3．