Question

半徑為5的⊙O中，直徑AB的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動點(diǎn)P，已知 BC∶CA=4∶3，點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動，過點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長線交于點(diǎn)Q。
（1）求證：△ABC∽△PQC；
（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對稱時，求CQ的長；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，CQ取到最大值？求此時CQ的長；
（4）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到弧AB的中點(diǎn)時，求CQ的長。

Answer 1

解：（1）∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB =90°， 在Rt△PCQ中，∠PCQ=∠ACB=90°， ∵∠CPQ=∠CAB， ∴△ABC∽△PQC； （2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)C關(guān)于AB對稱時，此時CP⊥直徑AB于D， ∴CP=2CD， ∵AB=10， BC∶CA=4∶3， ∴BC=8，AC=6， 又∵AC·BC=AB·CD， ∴CD=4.8， ∴CP=2CD=9.6， ∵△ABC∽△PQC， ∴， ∴CQ=12.8， （3）因?yàn)辄c(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動過程中，始終有△ABC∽△PQC， 所以PC最大時，CQ取到最大值， ∴當(dāng)PC過圓心O，即PC 取最大值10時，CQ最大，最大為； （4）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到弧CP的中點(diǎn)時，如圖所示，過點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E， ∵P是弧AB的中點(diǎn)，∠PCB=45°， ∴∠PCA=45°，在Rt△CBE中，  ∴CE=BE=4， 易證：△ABC∽△PBE， ∴PE=3， ∴CP=7， ∴CQ=7×=。