Question

如圖，這是某市一處十字路口立交橋的橫斷面在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖，橫斷面的地平線為x軸，橫斷面的對稱軸為y軸．橋拱的DGD′部分為一段拋物線，頂點G的高度為8米，AD和A′D′的兩側(cè)高為5.5米的支柱，OA和OA′為兩個方向的汽車通行區(qū)，寬都為15米，線段CD和C′D′為兩段對稱的上橋斜坡，其坡度為1：4．
（1）求橋拱DGD′所在拋物線的解析式及CC′的長；
（2）BE和B′E′為支撐斜坡的立柱，其高都為4米，相應(yīng)的AB和A′B′為兩個方向的行人及非機(jī)動車通行區(qū)．試求AB和A′B′的寬；
（3）按規(guī)定，汽車通過該橋下時，載貨最高處和橋拱之間的距離不得小于0.4米．今有一大型運貨汽車，裝載某大型設(shè)備后，其寬為4米，車載大型設(shè)備的頂部與地面的距離均為7米．它能否從OA（或OA′）區(qū)域安全通過？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線的對稱軸是y軸，因而解析式一定是y=ax²+c的形式，根據(jù)條件可以求得拋物線上G，D的坐標(biāo)分別是（0，8）和（15，5.5），利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)坡度的定義，即垂直高度與水平寬度的比，即可求解；
（3）在拋物線解析式中，令x=4，得到的函數(shù)值與7+0.4=7.4米，進(jìn)行比較即可判斷．

解答：解：（1）設(shè)DGD′所在的拋物線的解析式y(tǒng)=ax²+c．
由題意得G（0，8），D（15，5.5）．
∴

8=c 5.5=225a+c

解得

a=- 1 90 c=8

∴DGD′所在的拋物線的解析式為y=-

1

90

x²+8（4分）
∴

AD

AC

=

1

4

，且AD=5.5，
∴AC=5.5×4=22（米）
∴CC′=2OC=2×（OA+AC）=2×（15+22）=74（米）．
答：CC′的長為74米．（6分）

（2）∵

EB

BC

=

1

4

，BE=4
∴BC=16（8分）
∴AB=AC-BC=22-16=6（米）．
答：AB和A′B′的寬都是6米．（10分）

（3）答：該大型貨車可以從OA（或OA′）區(qū)域安全通過．（11分）
在y=-

1

90

x²+8中，當(dāng)x=4時，
y=-

1

90

×16+8=7

37

45

（13分）
∵7

37

45

-（7+0.4）=

19

45

＞0
該大型貨車可以從OA（或OA′）區(qū)域安全通過．（14分）

點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及坡度的定義，利用二次函數(shù)解決形狀是拋物線的物體的計算問題．