Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在第問(wèn)的前提下，在軸上找一點(diǎn)，使值最小，求出的最小值并直接寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)m=2時(shí)，即P運(yùn)動(dòng)到（2，0）時(shí)，△DQB面積最大，，△DQB的最大面積為24，此時(shí)Q（2，6）；（3）此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，0）．

【解析】

（1）把點(diǎn)代入解析式聯(lián)立方程組即可得到結(jié)果；

（2）先求出BD所在直線的解析式，設(shè)Q（m，），M（m，）可得，MQ，根據(jù)S△DBQ= S△DMQ +S△BMQ

可得出結(jié)果；

（3）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，根據(jù)當(dāng)點(diǎn)Q、E、F在一條直線上時(shí)，有最小值即可得到結(jié)果；

（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（6，0），

∴，

解得，

∴拋物線的解析式，

（2）令x=0，則y=3. ∴C（0，3）.

∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴D（0，﹣3）

設(shè)直線BD的解析式為y=kx﹣3（k≠0）．

將（6，0）代入得：6k﹣3=0，

∴k=.

∴直線BD的解析式為．

∵直線l⊥x軸于點(diǎn)P，交拋物線于Q，交直線BD于點(diǎn)M，

且P（m，0），

∴Q（m，），M（m，），

∴MQ =，

，.

∴S△DBQ= S△DMQ +S△BMQ

∴當(dāng)m=2時(shí)，即P運(yùn)動(dòng)到（2，0）時(shí)，△DQB面積最大，

此時(shí)Q（2，6），△DQB的最大值為24.

（3）在Rt△OBD中，OB=6，OD=3，則BD=，

∴sin∠OBD=．

過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F．

Rt△BFE中，

sin∠OBD= sin∠EBF=．

∴EF=BE．

∴．

∴當(dāng)點(diǎn)Q、E、F在一條直線上時(shí)，有最小值．

∵S△DBQ ，

∴

解得

即的最小值為

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，0）．