Question

如圖，梯形ABCD中，BC∥AD，∠BAD=90°，AD=18，BC=24，AB=m．在線段BC上任取一點(diǎn)P，連接DP，作射線PE⊥DP，PE與直線AB交于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)CP=6時(shí)，試確定點(diǎn)E的位置．
（2）若設(shè)CP=x，BE=y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）在線段BC上能否找到不同的兩點(diǎn)P₁、P₂，使得按上述作法得到的點(diǎn)E都分別與點(diǎn)A重合？若能，試求出此時(shí)m的取值范圍；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）過D作DF于PC垂直，垂足為F，根據(jù)三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到ABFD為矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等得到BF=AD，而AD為18，故BF為18，由BC-BF求出FC=6，所以此時(shí)P與F重合，由BF與DF垂直得到此時(shí)E與B重合；
（2）分兩種情況考慮：當(dāng)P在BF上時(shí)，由PD與PE垂直，由BC，AB及CP，BE表示出FD，F(xiàn)P，PD的長，根據(jù)平角定義得到∠BPE與∠FPD互余，又根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得到∠EPB與∠BEP互余，根據(jù)同角的余角相等得到∠BEP=∠FPD，由一對(duì)直角相等，根據(jù)兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到三角形BEP與三角形PFD相似，由相似得比例即可列出y與x的關(guān)系式；當(dāng)P在FC上時(shí)，畫出圖形，同理可得y與x的關(guān)系式，綜上，得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；
（3）存在，當(dāng)E與A點(diǎn)重合時(shí)，BE=AB=m=y，此時(shí)P在BF上，由（2）對(duì)應(yīng)的y與x的解析式，根據(jù)y=m列出關(guān)于m的方程，假設(shè)在線段BC上能找到兩個(gè)不同的點(diǎn)P₁與P₂滿足條件，故方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而得到根的判別式大于0，且根據(jù)負(fù)數(shù)沒有平方根，分別列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范圍．

解答：解：（1）作DF⊥BC，F(xiàn)為垂足．
當(dāng)PC=6時(shí)，
由已知可得四邊形ABFD是矩形，F(xiàn)C=6，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)F重合．又∵BF⊥FD，
∴此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合．

（2）當(dāng)點(diǎn)P在BF上（即6＜x≤24）時(shí)，
由CP=x，BE=y，AB=m，BC=24，F(xiàn)C=6，
所以BP=24-x，PF=6-x，
∵∠EPB+∠DPF=90°，∠EPB+∠PEB=90°，
∴∠DPF=∠PEB，又∠B=∠PFD=90°，
∴△PBE∽△DPF，
∴

EB

BP

=

PF

DF

，即

y

24-x

=

x-6

m

，
∴y=-

1

m

(x2-30x+144)．
當(dāng)點(diǎn)P在CF上（即0＜x≤6）時(shí)，
由CP=x，BE=y，AB=m，BC=24，AB=m，
所以FD=m，F(xiàn)P=6-x，BP=24-x，
∵∠EPB+∠DPF=90°，∠EPB+∠PEB=90°，
∴∠DPF=∠PEB，又∠EBP=∠PFD=90°，
∴△PBE∽△DPF，
∴

BP

FD

=

EB

PF

，即

24-x

m

=

y

6-x

，
∴y=

1

m

(x2-30x+144)．
綜上：y=

- 1 m (x2-30x+144)(6＜x≤24) 1 m (x2-30x+144)(0＜x≤6)•

（3）能找到這樣的兩點(diǎn)．
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，AB=y=EB=m，
此時(shí)點(diǎn)P在線段BF上，根據(jù)（2）中的關(guān)系式，
則有m=-

1

m

(x2-30x+144)，整理得，x²-30x+144+m²=0①．
假設(shè)在線段BC上能找到兩個(gè)不同的點(diǎn)P₁與P₂滿足條件，
即方程①有兩個(gè)不相等的正根，
首先要△=（-30）²-4×（144+m²）＞0，
然后應(yīng)有x=15±

81-m2

＞0．
由△＞0解得81＞m²，由于

81-m2

＜15，m＞0，
∴0＜m＜9．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了梯形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及一元二次方程的應(yīng)用，其中第二問的思路為：根據(jù)P在作出的DF的兩側(cè)分兩種情況，利用分類討論的思想，根據(jù)相似得比例得出y與x的關(guān)系式，第三問的思路為：構(gòu)造一元二次方程，根據(jù)方程解的情況得出根的判別式大于0，進(jìn)而列出關(guān)于m的不等式，從而求出m的范圍．學(xué)生求m范圍時(shí)還要注意負(fù)數(shù)沒有平方根這個(gè)隱含條件．